空间向量立体几何§ 空间向量及其运算

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1、第三章间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算                  知识点一 空间向量概念的应用 给出下列命题:①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆;②若空间向量a、b满足

2、a

3、=

4、b

5、,则a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有AC=;④若空间向量m、n、p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中假命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析 ①假命题.将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时,它们的终点将构成一个球面,而不是

6、一个圆;②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同;与与的方向相同,模也相等,应有=;④真命题.向量的相等满足递推规律;⑤假命题.空间中任意两个单位向量模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错.故选C.答案 C知识点二 空间向量的运算化简:()()解方法一()()=+=+++=(+)+(+)=+=0。方法二()()=+=()+()=+=0。在四面体ABCD中,M为BC的中点,Q为△BCD的重心,设AB=bAC=cAD=d,试用b,c,d

7、表示向量,、,,和。解如图所示=+=db,=+=cb,=+=dc,13/13=(+)=(bd+cd)=(b+c2d),=+=d+,=d+(b+c2d)=(b+c+d).知识点三 证明共线问题 已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边CB、CD上的点,且=,=.求证:四边形EFGH是梯形.证明∵E、H分别是AB、AD的中点所以=,=,=-==()==(-)={-}=()=,∴四边形EFGH是梯形.知识点四 证明共面问题正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BB1和A

8、1D1的中点.证明:向量,,是共面向量.13/13证明方法一如图所示.=++=+-=()。由向量共面的充要条件知,,,是共面向量。方法二 连结A1D、BD,取A1D中点G,连结FG、BG(如图所示),则有FGDD1,BEDD1,∴FGBE.∴四边形BEFG为平行四边形.∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.同理,B1C∥A1D,∴B1C∥平面A1BD.∴,,都与平面A1BD平行∴,,共面.知识点五 数量积的运算 如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算(1)·

9、;(2)·;(3)·.解(1)·=·

10、

11、=

12、

13、·

14、

15、·cos<·>60°=,所以·=,(2)·=

16、

17、·

18、

19、·cos<,>=×1×1×cos0°=,所以·=,(3)·=·13/13=

20、

21、·

22、

23、·cos<,>=×1×1×cos120°=-,所以·=-,知识点六 数量积的应用 已知点O是正△ABC平面外的一点,若OA=OB=OC=AB=1,E、F分别是AB、OC的中点,试求OE与BF所成角的余弦值.如图所示,设=a,=b,=c,则a·b=b·c=c·a=,

24、a

25、=

26、b

27、=

28、c

29、=1,=(a+b),=c-b,·=(

30、a+b)·{c-b}={a·c+b·c-a·b-

31、b

32、2}=×{+--1}=-,∴cos〈,〉===∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B、D间的距离. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.证明如图所示,设=a,=b,=c,13/13则a·b=0,b·c=0,c·a=0,且

33、a

34、=

35、b

36、=

37、c

38、,而=+=+(+)=e+(

39、a+b),=-=b–a,=+=(+)+=(a+b)-c∴·={c+a+b}·(b–a)=c·(b–a)+(a+b)·(b–a)=c·b-c·a+(

40、b

41、2-

42、a

43、2·={c+a+b}–{a+b-c}=(

44、a

45、2+

46、b

47、2)-

48、c

49、2=0∴A1O平面BDG知识点七 空间向量的坐标运算 已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求满足下列条件的P点的坐(1)=();(2)=();解=(2,6,3),=(4,3,1)。(1)=()=(6,3,4)={3,,2}

50、,则P点的坐标为{3,,2).(2)设P(x,y,z)则,=(x–2,y+1,z–2).又因为(-)=(3,,-2),所以x=5,y=,z=0,故P点坐标为(5,,0).知识点八 坐标运算的应用 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为D1D、BD的中点,G13/13在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点,应用空间向量方法求解下列问题.(1

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