高数小结与各年试题

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1、高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解.一阶微分方程的解法小结：方程编号类型一般形式解法备注1型可分离变量方程或分离变量法有些方程作代换后可化为1型2型齐次方程或令为1型求解有时方程写成令化为1型求解3型线性方程或1．常数变易法2．凑导数法：同乘有时方程不是关于线性方程，而是关于线性方程4型贝努里方程或令或化为3型求解有时方程不是关于的贝努里方程，而是关于贝努里方程5型全微分方程其中为原函数有时乘以一个积分因子可化为5型二阶微分方程的解法小结：35类型特征求解方法备注缺次积分求解见上册缺令，

2、降为一阶方程降价后是关于p，的一阶方程缺令，降为一阶方程降价后是关于,y的一阶方程常系数通解见下表齐次方程的通解为：判别式两特征根情况通解相异实根，二重实根共轭复根非齐次方程的特解的形式为：的形式特征根情况的形式不是特征根是重特征根不是特征根是特征根主要:一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；352、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法在求时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法

3、设，，，则，几种特殊情况：1），，，则2），，则，3），则，3、隐函数求偏导数的求法1）一个方程的情况设是由方程唯一确定的隐函数，则，或者视，由方程两边同时对求导解出.2）方程组的情况35由方程组两边同时对求导解出即可.二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法1）设空间曲线Г的参数方程为，则当时，在曲线上对应点处的切线方向向量为，切线方程为法平面方程为2）若曲面的方程为，则在点处的法向量，切平面方程为法线方程为若曲面的方程为，则在点处的法向量，切平面方程为35法线

4、方程为四、多元函数极值（最值）的求法1无条件极值的求法设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，，解出驻点，记，，.1）若，则在点处取得极值，且当时有极大值，当时有极小值.2）若，则在点处无极值.3）若，不能判定在点处是否取得极值.2条件极值的求法函数在满足条件下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组35求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点.3最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的

5、最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值.主要:1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：积分类型积分记号定义及几何意义积分区域积分元素被积函数一重积分曲边梯形面积区间=一元函数二重积分曲顶柱体体积平面区域D二元函数三重积分空间区域三元函数第一类曲线积分平面或空间曲线Lds==二元或三元函数35第二类曲线积分平面或空间曲线L二元或三元函数第一类曲面积分空间曲面三元函数第二类曲面积分空间曲面三元函数计算方法应用转动慣量重心其它（面积

6、.体积.功等）见上册表后*所示1）or2)1体积2）曲面面积A=1)2)3)柱面坐标法4）球面坐标法=体积V=351）2)3）4）化为第二类曲线积分==曲线所围面积A=2）3）4）5）公式计算法6）折线计算法（积分与路径无关时）；7）连续变形原理计算法；8）公式计算法1）功W=求二元函数的“原函数”==面积S=1）直接代入法2）Gaus公式计算法；3）投影转移法*定积分的几何应用定积分应用的常用公式：(1)面积（型区域的面积）（型区域的面积）(2)体积35（横截面面积已知的立体体积）（所围图形绕轴旋转所得的立体体积）（所围图形绕轴旋转的立体体积）（所围图形绕轴旋转的

7、立体体积）(3)弧长计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化．计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算：1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量对称，则当被积函数关于为奇函数时，该积分为0，当被积函数关于变量为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量的对称性理论与上相反.3）、若积分区域的地位平等（即将表示区域的方程互换不变），则将被积函数中互换积分不变.此称之为轮换对