导数及其应用题型

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1、导数及其应用题型一、导数的几何意义及应用1、曲线在点(1，—1)处的切线方程为()A.y=x—2B.y=—3x+2C.y=2x—3D.y=—2x+1Y—2解析：y'=(x_2)‘=(丫_2)2,

2、.r=i=—2./：y+1=—2(x—1),即y=~2x+1.答案:D2、曲线y=xex+2x+在点(0,1)处的切线方程为.解析：y'=eY+x-eY+2,y'L=o=3,・・・切线方程为夕一l=3(x—0),:.y=3x+i,答案：y=3x+1已知函数/(x)=x'+x—16.(1)求曲线y=/(x)在点(2,—6)处的切线的方程；(2)直线/为曲线y=/(x)的切线，且经过原点，求直线

3、/的方程及切点坐标；(3)如果曲线y=/(x)的某一切线与直线y=-

4、x+3垂直，求切点坐标与切线的方程.解：(1)可判定点(2,—6)在曲线y=/U)上.*.•/(x)=(/+x—16)‘=3.0+1,・・・在点(2,—6)处的切线的斜率为⑵=13.・・・切线的方程为＞•=13(x-2)+(-6),即y=13x—32.(2)法一：设切点为(兀°,尹o),则直线I的斜率为f(xo)=3兀;+1,・•・直线/的方程为y=(3X；+1)(x-y())+兀;+x()—16,又•・•直线/过点(0,0),・・・0=(3xl+1)(一xo)+理+x°—16,整理得，Xg=—8,・：兀0=—2,・

5、"()=(—2)3+(—2)—16=—26,*=3X(—2)2+1=13.・•・直线/的方程为y=3xf切点坐标为(一2,-26).法二：设直线/的方程为y=kx,切点为(xo,jo),则匸丿()_0X。一0又、：k=f(丸)=3对+1,AX°+X°~16=3+1,解之得x0=-2,・••刃)=(-2)'+(—2)—16=—26,£=3X(—2)2+1=13.・••直线/的方程为y=13x,切点坐标为(一2,—26).⑶°・•切线与直线尹=—扌+3垂直，切线的斜率k=4.设切点的坐标为(xo,尹°),则f(x0)=3Xp+1=4,Xo=l,•・X()=±19••*Ipy)=-14,■

6、Xo=—1，•■或［切线方程为v=4(x—1)—14或y=4(x+l)—18.Ao=-18・即y=4x~18或v=4x~14.二、导数与函数的单调性1、函数./W=(x—3)『的单调递增区间是说明()A.(一8,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+<^>)解析：./(x)=(x-3)・e：/'(x)=ev(x-2)>0,・・・x>2.・・・./U)的单调递增区间为(2,+<-).答案：D2、.若函数/7(x)=Zr—£+彳在(1,+->)上是增函数，则实数&的取值范围是()A.[-2,+8)B.[2,+8)C.(—8,-2]D.(—8,2]klk解析：因为/(x)=2+r,所以

7、(x)=2+-z=—M0在(1,+°o)上恒成立，即k^—2x2在(1,+°°)XXX上恒成立，所以幺丘[一2,+co).答案:A3、设函数fix)=x3+ax'—9x—1(6T<0).若曲线y=/(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平彳亍，求:(1)。的值；(2)函数人兀)的单调区间.解:⑴因^v)=x3+tz?-9x-l,所以f(x)=3x2+2ax—9=3uc+z)222—9—y.即当x=—彳时，f(x)取得最小值一9—牛2因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为一12,所以一9-y=-12,即a2=9.解得a=±3,由题设avO,所以a=—3.(2)由(1)

8、知°=一3,因此/(x)=?-3x2-9x-1,/(x)=3兀2—6x—9=3(x—3)(x+1),令f(x)=0,解得匕=一1,也=3.当xW(—8,—1)时，f(x)>0,故./(x)在(-oo,一1)上为增函数；当xe(-l,3)时，f(x)<0,故/U)在(一1,3)上为减函数;当xE(3,+qo)时，/(x)>0,故./(x)在(3,+<-)上为增函数.由此可见，函数./(兀)的单调递增区间为(一8,—1)和(3,+°°),单调递减区间为(一1,3).三、导数与函数的极值1、设qGR,若函数j；=ev+^r,xER有大于零的极值点，贝IJ()A.a<~1B.a>—1C.a>—

9、~D.qV—丄ee解析：由卩=(e+ax)'=ex+a=0得ex=~at即x=ln(—°)>0今一a>1今qV—1.答案：A2、.若函数fix)=x3~3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.(-2,2)B.[-2,2]C.(一8,-1)D・(1,+<«)解析:由/'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),且当xV-l时，f(x)>0;当一lVxVl时，f(x)V0；当x>时，f(x)>0.所以当X=-l时函数./U)有极大