数学分析竞赛辅导讲义

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1、高等数学(数学分析)竞赛辅导讲稿(2010年11月20口)一、函数函数是数学分析中的基本概念，主要考察考牛.对函数的概念及性质的理解和掌握。包括函数的连续性。闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理)，并会应用这些性质。问题1试证不存在L上的连续函数使得/在无理数集上是一一映射，在有理数集上不是一一映射。证若不然，则冇在a,be0，使得f(a)=f(b)=L且avb。设/(兀)在［以］上的最大值和最小值分别为M和m。若/在［a.h］上取常值，则f在无理数集上不是一一映射。于是厶或沐厶。不妨设L

2、(厶⑷-爪)工0。任取某个/7E(L,M)-/(U),分别在［g,c］和［c,b］上应用介值性定理必有5和t使得a故5•和/都是无理数，这与/在无理数集上是一一映射矛盾。问题2若一族开区间{IaaeV}覆盖了闭区间［0,1］,则必存在一个正数J>0,使得［0,1］中的任意两点西,勺满足

3、^-%2

4、<^时，吗*2必属于某个开区间证不妨设每个开区间都是有限区间。(1)作函数/:［0,1］t口,x^sup{d(xJac)aeV}o(2)/连续，且/(x)>0o而闭区间上的连续函数一定有最小值，令^=-min{/(x)

5、xG［0

6、,l］}o(连续性的证明：Vx,jg［0,1］,J(x,Iac)=inf{d(x,a)aeIac}

7、/(x)-/(y)

8、Sd(兀，y),故>0,取/=£,当x-y<3时,f(x)-f(y)<£9所以/(兀)是［0,1］上的连续函数。)(1)0“［0,1］,o<

9、而(X—X+U打,°(2)而满足卜］一兀2〔V》的点西,兀2必在某个(兀一5,x+〃)中(事实上取乂=曲_七即可从而命题得证。2练习1设/(X)在［0,1］上可导,且/(0)=0,/(I)=1o证明：对任意正数。、b,必存在(0,1)内的两个不同的数纟与〃，使ab.—；~z—I—；—=a十b。f©/(〃)证设OvaSbvl,令C°=1,则0

10、上利用拉格朗日中值定理存在〃w(c,l),有F吩/(1l-f6)二匕二(a+b)(l-c)于是=(a+b)c+(q+Z?)(l-c)=a+bo命题得证。二、极限数列和函数极限的计算，以及有关问题的讨论，无穷阶的比较，实数完备性理论及其应用。问题3设e=Vc(c>0),an+i=y］c+an,n=1,2,…•求limano证首先证明｛色｝是递增数列.a2=+=yjc+4c>4c=ax,假设ak+｝>ak成立，贝I」色+2=Jc+%1>Jc+务二,因此｛©｝是递增数列.再证明｛citl｝是有界数列.4c4c显然成立.a｝=4c

11、，则ak+i=Jc+务ax=Jc,因此a>Q,从而liman练习2设％=a/2,an+{=Jlan,n=1，2,…,求lim%〃一＞oo证显然S〉0首先证明，％<2・%=V2<2,若假设an<2,则afl+｝=^2an8an^=2afl两边取极限，得

12、a2=2a,解得。=0或a=2,但由于色》仙=VI,因此6Z>V2,从而liman=2.n—>00练习3设为=1+丄+丄+…+丄一ln〃,求证:limS,2存在。23n“too［分析］两个事实:1)(1+-r单调递增tsn2)(1+丄严1单调递减T—n有不等式—L0,故｛SJ单nn+n+调卜降，且S’?>ln