微积分习题讲解与答案

《微积分习题讲解与答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、习题8.11.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程：(1)(2)(3)(4)解(1)1阶非线性(2)1阶线性(3)3阶线性(4)1阶线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解(1)(2)(C为任意常数)(3)(C为任意常数)(4)(C1,C2为任意常数)(5)(C为任意常数)(6)解(1)是，左==右(2)是，左==右(3)是，左==右(4)是，左==右(5)是，左=右(6)是，左===右3.求下列微分方程的解(1);(2);(3)(4)解(1)(2)(3)解得即(4)解得整理得4.已知曲线经过

2、原点，并且它在点处的切线的斜率等于，试求这条曲线的方程。解已知解得又知曲线过原点，得所求曲线方程为习题8.21.用分离变量法求下列微分方程的解(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1)解得(2)解得(3)解得即(4)解得整理得(5)解得由于，解得则(6)解得由于则原方程解为2.求下列齐次方程的解(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1)令，代入方程得分离变量得两边积分得整理得将回代，即得原方程通解(2)原式可化为令，代入方程得分离变量得两边积分得将回代，即得原方程通解整理得(3)原式可化为令，代入方程得分离

3、变量得两边积分得即将回代，即得原方程通解(4)原式可化为令，代入方程得分离变量得两边积分得即将回代，即得原方程通解(5)令(6)原式可化为令，代入方程得分离变量得两边积分得即将回代，即得原方程通解将代入得C=2于是，特解为习题8.31.求下列微分方程的通解(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1)这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程的通解。分离变量得两端同时积分，得得通解为用常数变易法，把C换成C(x)，即两边微分，得代入原方程，得两端同时积分，得故所求微分方程通解为其中C为任意常数。(2)则或：这

4、是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程的通解。分离变量得两端同时积分，得得通解为用常数变易法，把C换成C(x)，即两边微分，得代入原方程，得两端同时积分，得故所求微分方程通解为其中C为任意常数。(3)则(4)则(5)原式可化为则(6)原式可化为则2.某种商品的消费量X随收入I的变化满足方程（a是常数）当时，，求函数的表达式。解原式可化为则又当时，，得则原方程解为习题8.41.某商品的需求函数与供给函数分别为(其中a,b,c,d,均为正常数)假设商品价格P是时间t的函数，已知初始价格，且在任一时刻t，价格P

5、(t)的变化率与这一时刻的超额需求成正比（比例常数为k>0）(1)求供需相等时的价格（均衡价格）（2）求价格P(t)的表达式（3）分析价格P(t)随时间的变化情况解（1）当时，即，得（2）由于，即方程通解为已知价格，代入得，于是（3）由于2.已知某种商品的需求价格弹性为，其中p为价格，Q为需求量，且当p=1时，需求量Q=1，试求需求函数关系。解设需求关系式为，则由题设知即此微分方程通解为将Q(1)=1代入，得C=1，故所求需求函数为3.设某厂生产某种产品，随产量的增加，其总成本的增长率正比于产量与常数2之和，反

6、比于总成本，当产量为0时，成本为1，求总成本函数。解设产量为x，总成本为C，比例系数为1，则依题意有解此微分方程，得把初始条件代入解得于是总成本函数为4.在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入y，国民储蓄S和投资I均是时间t的函数，且储蓄额S是国民收入的，投资额为国民收入增长率的。若当t=0时，国民收入为5亿元，试求国民收入函数（假定在时间t的储蓄额全部用于投资）解依题意得因为储蓄额全部用于投资，故有即国民收入函数应满足方程解得将初始条件代入上式，得于是习题8.51、求下列微分方程通解(1)(2)(3)(4)解

7、(1)(2)(3)令，原方程降阶为分离变量得两边积分得即所以(4)令，原方程降阶为分离变量得两边积分得即所以2求解初值问题(1).(2)解(1)设，则，代入原方程，得分离变量得积分得，即由得则，由知单调增加，于是再积分一次，可得通解由得即(2)令,原方程化为属于一阶线性方程由得又由得初值问题的解为习题8.61.求下列方程通解(1)(2)(3)(4)解(1)解特征方程为解得两个不同实根，所求方程的通解为其中是任意常数(2)解特征方程为解得两个不同实根，所求方程的通解为其中是任意常数(3)解特征方程为其特征根为二重

8、实根，所求方程通解为其中是任意常数(4)解特征方程为解得两个共轭虚根，所求方程通解为其中是任意常数2.求方程满足初始条件的特解解特征方程为解得两个共轭虚根，所求方程通解为由初始条件得又由由，得于是满足初始条件的特解为3.求微分方程的一个特解解，其中不是特征方程的根，得为所给方程的一个特解，直接将代入原方程，得比较系数得解得所以即为所求特解4.求微分方程的通解解，其中对应的齐次方程为特征