第三讲函数的概念和性质

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1、第三讲函数的概念和性质（2》——函数的定义域和值域【基础回顾】一、基础知识：知识点一：函数的定义域求函数定义域一般有三类问题：1.给出函数解析式的：函数的定义域是；①分式的分母；②偶次根号下；③f（x）=x°；④对数中；⑤f（x）=tanx等等・2.实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑;3.复合函数定义域：已知/⑴的定义域［a,b］,其复合函数f［g（x）］的定义域，由解出；已知ftgM］的定义域［。,切，求/（x）的定义域。是g（x）在上的.知识点二：函数的值域函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：（1）求常见函数值域；（2）求

2、由常见函数复合而成的函数的值域；（3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域.常见方法有：①直接法：利用常见函数的值域来求；②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：f（x）=ax2的形式；③分式转化法（或称为“分离常数法”）④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数（化归思想）；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基木不等式法：转化成型如：y二兀+£伙＞0）,利用均值不等式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；⑧数形结合：根据函数的儿何图形，利用数型结合的方法来求值域；⑨逆求法（反求法）：通过反解，用

3、y来表示X,再由X的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：y二竺兀w（加/）.cx+d二.基础自测:1.(2009江西卷理)函数y=ln(x+l)J—x1一3兀+4的定义域为2.函数/(%)=士二lg奸二的定义域是x-33.已知函数/(兀)定义域为(0,2),则/(〒)+23定义域为・4.函数y=2-yj4x-x2的值域为.5.(2010年高考山东卷文科3)函数/(x)=log2(3v+l)的值域为6.若函数yyjax2+4or+3的定义域为R,则实数a的取值范围是【典型例题】fM=例题1：求下列函数的定义域.(2)/(兀)=J10g()5(10g2兀2+1);(3)f

4、(x)=V16-X2+lgsinx.解：(1){xIx<-3或-3〈xWT或xM4}；(2)由log05(log2x2+1)>0可得，0-10sinx>0=>-4-4

5、2)已知f(x)定义域为[0,12],求f(x2-2x-3)的定义域;(3)已知f(x?-2x-2)的定义域为[1,13],求f(x)的定义域；(3)函数f(2^-1)的定义域是(0,1),求函数f(1—3方的定义域.33解：(1)[-三二]；44(2)由题意知：OSx'-2x-3512,Q/_2x_3>o=>x>3nJcx<-l,②x2-2x-15<0=>(x-5)(x+3)<0・・・xw[-3-l]U[3,5],即f(xz-2x-3)的定义域为[一3,—1]U【3,5】；(3)由题意知：令g(x)=x2-2x-2,xe[1,13]f(x)的定义域为[—3441]；2(4)函数f(1—3

6、力的定义域是(0,-).例题3：求下列函数的值域：(1)y=3x2-x+2xe[1,3]:(2)y=y/-x2-6x-5:(3)y-+*；x-2(4)y=x^4y/l-x；(5)y=；(6)x+兀+12x~—x+11y=(%>-)•2x-l2解：(1)(配方法)(利用函数的单调性)函数y=兀+2在xw[l,3]上单调增，・••当x=l时，原函数有最小值为4；当兀=3时，原函数有最大值为26,・・・函数)‘=3兀$-％+2,xg[1,3]的值域为[4,26]；(2)求复合函数的值域：设“6兀—5(//>0),则原函数可化为)，=血，又v//=-x2-6x-5=-(x+3)2+4<4,.<

7、//<4,故血丘[0,2],・・・y=J-分-6x-5的值域为[0,2]；(3)分离常数法：)，=竺11=卫三廿2=3+丄，•・•丄工0,・・.3+二-工3,x—2x—2x—2X—2X—23x+l・・・函数y二二一的值域为｛yw/?

8、y^3｝；x-2(4)换元法(代数换元法)：设r=知二no,则x=l-t2f・・・原函数可化为y=l-r2+4/=-(r-2)2+5(r>0),r.^<5,二原函数值域为(―8,5]；(5)