《211合情推理》同步练习（二）

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1、《2.1.1课时作业》同步练习(二)一、填空题1.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点‘‘可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的.【解析】“边的中点''类比为“各面的中心？【答案】中心2.已知｛%｝为等比数列,加=2,贝仏血加..上9=29.若｛“｝为等差数列，45=2,则｛如的类似结论为.【解析】乘积类比和，幕类比积.・：Q]+02+创+•••+=2x9.【答案】di+a2+Q3+・・.+d9=2x93.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4,类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为.

2、【解析】若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为1：&事实上，由平而儿何和立体儿何的知识，可知很多比值在平而上成平方关系，在空间内成立方关系.【答案】1:84.在圆中，连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论为.【解析】平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系，対应得出球的相应结论：在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面.【答案】在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：(1)“加=几加'类比得b=b・a?(2)"伽+ri)t=mt+nfy类比得"(a

3、+方)•c=ac+b-c?(3)“

4、〃n=

5、/n

6、-

7、4啖比得=

8、4•

9、朋acaa・ca_⑷“瓦类比得“庄=i?・’以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是.【解析】(1)(2)均正确,(3)(4)不正确.【答案】(1)(2)16.已知正三角形内切圆的半径是高的亏把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是•111【解析】原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S=2cih=3x2r=3/z.丄丄丄类比，用等体积法，V=§S/2=4x»・Sw=&/7.1【答案】正四面体的内切球的半径是高的N1.对于大于1的自然数加的几次幕可用奇数进行如图2-1-9所示

10、的“分裂7仿此，记5*的“分裂'冲的最小数为d，而5?的“分裂冲最大的数是b,则a+b=.1357-9Jz2—p4413573579图2—1一9/2,>23【解析】唸5,5《—25,、9、29(7=21,b=9,贝iJa+b=30.【答案】30y%1fX图2_1_101.如图2—1—10所示，对于函数y=,(兀＞0)图象上任意两点A(d,/),B(/?,/?),线段AB必在曲线段AB的上方，点C分向量届的比为久(久＞0),过C作兀轴的垂线，交曲线段ABa2+kb~a+入b于C,则由图彖中点C在点C的上方可得不等式1+九＞(1+入)?请分析函数)=加x

11、(x＞0)的图彖，类比上述不等式可以得到的不等式是.【解析】y=y的图象在兀＞0时，图象下凹，且A(d,/),B(b,b2),所以点C的纵坐a'+^b2a+A＞b标是1+九，点C与点C，的横坐标都是1+几,而点C在曲线)=/上，点C在点C，上方，所以a2+?^b2a+Xb2兀=i+x＞yc=(i+k)-y=lnx的图象如图所示，图彖上凸,Ina+入Inba+入b・••兀Vyu，类比可得1+九0,b>0).Ina+Xlnba+Xb【答案】—m—0,b>0)二、解答题1.已知：等差数列｛如｝的公差为d,前77项和为S，有

12、如下的性质：⑴通项an=am+(n—m)•d.(2)若加+n=#+q,且加，n,p,qWN、,则am+an=ap+ag.(3)若m+n=2p,Um,n,pWN：则a,n+an=2ap.(4)S”，S2”/S“，S3〃/S2”构成等差数列.类比上述性质，在等比数列｛仇｝中，写出相类似的性质.【解】设等比数列｛仇｝中，公比为q,前*项和为S”.⑴通项an=am-q~in.*(2)若m+n=p+qt.冃.加，nfp,qWN,则如・如=如5(3)若m+n=2p,且加，n,pWN“,则c^=am-an.(4)S“,S2“一SH,S3,?—构成等比数列.2.在R仏

13、ABC中，若ZC=90°,则co/a+cos2B=1.请在立体几何中给出四面体性质的猜想.【解】如图，在ReABC屮，B°，匕2r『+b~co?X+cos2B=(c)2+(c)2=~c1~—1.于是把结论类比到如图所示的四面体P—A，BC中，我们猜想：在三棱锥P—中，若三个侧面PAESPC7V两两互相垂直且分别与底面所成的角为a,卩,y,则co/a+cofp+cos"y=1.3.在等腰△ABC中，AB=AC,设P为底边上任意一点，P到两腰的距离分别为力I，力2,B到腰AC的距离为方,则h]+h2=h,类比到空间:在等腰四面体ABCD(对棱分别相等)中,

14、有什么类似的结论？并给出证明.【解】类比可得到如下结论：在等腰四面体ABCD中，设P为底面上任