2011年全国高中数学联赛模拟题1(最新)

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1、全国高中数学联赛模拟题一试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．在数列中，，，且，．则＝．2．设a，b，c是正整数，且成等比数列，是一个完全平方数，，则．3．一列数满足对于任意正整数n，都有，则．4．设，变量满足，且的最小值为，则_______．5．正整数，具有如下性质：从集合中任取一个元素m，则m整除n的概率是，则n的最大值是.6．集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为.7．一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影．当三棱

2、锥的体积最大时，_________．8．直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为，则.二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分）9.（本小题满分16分）设，证明不等式．10.（本小题满分20分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，．（1）求双曲线方程；（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．11.（本小题满分20分）设是不同的正实数.证明：是一个等比数列的充分必要条件是：对所

3、有整数，都有.加试1.（本题满分40分）实数a使得对于任意实数，不等式都成立，求a的最大值．2.（本题满分40分）在直角三角形ABC中，，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF．已知，求证：∥．3．（本题满分50分）对正整数n，记为数的十进制表示的数码和．(1)求的最小值；(2)是否存在一个正整数n，使得=100？4．（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数n，在圆O的圆周上任取n个点，则在个角中，至少有2011个不超过．参考答案一试

4、1.0．因为，，，，，，，，，，，，，…．所以，自第8项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=0．2．111．由题意，，，所以，，故，．于是，36－a是平方数，所以，a只可能为11，20，27，32，35，而a是的约数，故．进而，．所以，．3．．当时，有，，两式相减，得，所以故．4．．由及得：，设．若，即，则在处取最小值，因此，．若，即，则在处取最小值，因此，（舍去）．5．81.由题设知，n恰有5个约数.设n的质因数分解是，则n的约数个数为，所以＝5，故n具有的形式，而，故n的最大值为81.6．220

5、10．令f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x2011),问题中要求的答案为f(x)的展开式中，x的奇次项的系数和．故所求的答案为(f(1)－f(－1))=22010.7．．易知，所以，从而，所以，因此．，由得：，而，为斜边长为的直角三角形，面积最大在时取到，此时，．8．．设，由，即，所以，，因此，即，因直线过和，则，于是，再由，，解得，所以．9.注意到，所以，所以．同理，因为，所以．10.（1）由双曲线离心率为2知，，，双曲线方程化为．又直线方程为．由，得．①设，，则，．因为，所以，．结合

6、，解得，．代入，得，化简得．又且．所以．此时，，代入①，整理得，显然该方程有两个不同的实根．符合要求．故双曲线的方程为．（2）假设点存在，设．由（1）知，双曲线右焦点为．设（）为双曲线右支上一点．当时，，，因为，所以．将代入，并整理得，．于是，解得．当时，，而时，，符合．所以符合要求．满足条件的点存在，其坐标为．11.必要性：若是一个等比数列，设，则＝.充分性：当n＝2时，两边都等于1.当n＝3时，有，化简得，所以，成等比数列.假设成等比数列（），记，，，则，，，，因为，所以，即，从而成等比数列.由数学归纳

7、法知，是一个等比数列.加试1．a的最大值为．因为当时，得．又当时，不等式恒成立．事实上，所以，a的最大值为．2．连接DE，DF，则△BDF是等腰直角三角形．于是，故．又，所以△PFD∽△PDC，所以．①又由，，所以，△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，于是，故由①得．②因为，结合②得，△EPD∽△EDC，所以，△EPD也是等腰三角形，于是，所以，∥．3．（1）由于是大于3的奇数，故．若，则只能为首位和末位为1，其余数码为0的一个数，即=，k是大于1的整数．于是，由于，所以于是，矛盾！故．又当n=8时，=

8、201，所以．综上所述，的最小值为3.（2）事实上，令，则，他的数码和为．由于100=9×11+1，所以，取，则=100.4．首先，当n＝90时，如图，设AB是圆O的直径，在点A和B的附近分别取45个点，此时，只有个角不超过，所以，n＝90不满足题意．当n＝91时，下面证明至少有2011个角不超过．把圆周上的91个点看作一个图的91个顶点，，若，则在它们对应的顶点之间连一条边，这样就得到一个图G．设图G中有e条边