2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案

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1、2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2015年3月15日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解答】由，知，，，。∴。2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】将6个小球分成3堆，每

2、堆2球，共有下列15种不同的分堆方法（堆与堆之间不考虑顺序）：，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，。其中，编号为1，2的小球分在同一堆的情形有3种。∴编号为1，2的小球放在同一个盒子内的概率为。3．已知圆是边长为的正三角形的内切圆，圆圆外切，且与的边、边相切，则圆的面积为（）A．B．C．D．【答案】A9【解答】如图，设圆切边于，圆切边于，且圆的半径为，圆的半径为。由是边长为的正三角形，知，，∵圆圆外切，且与的边、边相切，∴、、三点共线，，。（第3题答题图）∴，。∴圆的面积为。4．如图，

3、为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、。已知，，且。则四边形的面积为（）A．10B．15C．D．【答案】C（第4题图）【解答】如图，连结，，。易知。又，。（第4题答题图）∴，。由，知点在的平分线上，、、三点共线。∴，。∴。∴。5．记为非负整数的各个数位上的数字之和，如，，。则（）A．B．C．D．【答案】B9【解答】设。则，。又，，∴。二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知直线与抛物线交于、两点，则。【答案】【解答】由，得。……………①依题意，，为方程①的两根，，。∴。7．如图，已知正方形的边长为1，点

4、、分别在边、上，且。则的周长为。【答案】2【解答】如图，在的延长线上取点，使得，连结。则由为正方形，易得。（第7题图）∴，。∵，∴。于是，在与中，，，。∴，。的周长（第7题答题图）。8．若时，二次函数的最小值为，则。9【答案】5【解答】∵，，∴若，即时，则当时，取最小值。由知，，不符合要求。若，即时，则当时，取最小值。由知，，得，均不符合要求。若，即时，则当时，取最小值。由知，，符合要求。∴。9．已知正整数，满足，则整数对的个数是。【答案】3【解答】由，知，。由，为正整数知，为整数。∴（其中为正整数）。同理，（为正整数）。于是，（，为正

5、整数）。∴，，。∴满足条件的整数对，或，或。∴满足条件的整数对的个数为3。10．表示不超过的最大整数，则满足条件的的取值范围为。【答案】或【解答】（1）当时，，，。∴时，方程无解。9（2）当时，，，等式成立。（3）当时，，，等式不成立。（4）当时，。，或。等式不成立。（5）当时，。，或。等式不成立。（6）当时，，由知，。于是，。综合得，满足条件的的取值范围为或。9三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．如图，二次函数的图像过、、三点，其中，点、在轴上（在点左侧，在点右侧），且，。（1）求二次函数的解析式；（2）求外接圆的半径。

6、（第11题图）【解答】（1）作轴于，则。由，知，，。∴，。∴点坐标为，点坐标为。………5分（第11题答题图）设所求二次函数的解析式为。将点的坐标代入二次函数解析式，得。∴，二次函数得解析式为，即。………10分（2）由（1）知，，。∴。…………………………………15分∴外接圆的半径。…………………………………20分912．已知关于的方程有有理数根，求正整数的值。【解答】∵关于的方程有有理数根，且为正整数，∴为完全平方数……………5分设（为正整数），则，。∴。……………10分∵为正整数，为整数，且，∴，或，或，或。………………………15分解

7、得，，或，或，或。∴正整数的值为503或99或35或8。…………………20分注：时，方程化为，即。时，方程化为，即。时，方程化为，即。时，方程化为，即。913．如图，是等腰直角三角形，，点在线段上（与、不重合），点在射线上，且。求证：。（第13题）【答案】如图，作点关于直线的对称点，连结、、，，则。∵是等腰直角三角形，，且，（第13题答题图）∴，。∴。………………………………5分又，。∴。……………………10分∴，。又由，知。∴。……………………15分∴。又，∴。……………………20分另解：如图，沿翻折得，则。∴，，，。……5分∵，∴。

8、…………………10分又，。∴。……………………15分∴，，。∴。……………………20分914．在0与21之间插入个正整数，，…，，使其满足。若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，，，…，，21