配凑法(高中版)

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1、配凑法(高中版)（第课时）神经网络准确记忆！重点难点好好把握！重点：1．；2．；3．。难点：1．；2．；3．；。考纲要求注意紧扣！1．；2．；3．。命题预测仅供参考！1．；2．；3．。考点热点一定掌握！所谓“配凑”指的是利用恒等变形的方法，把一个解析式中的某些项配凑我们所需要的形式，用得最多的是配成完全平方式。它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式以及最值、数列等等方面都经常用到它。常用的基本配凑形式如下：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a

2、＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2；……等等。常用的基本配凑策略如下：把结论（或等式左边）变形，凑出题设（或等式右边）形式，以方便利用已知条件。把题设（或等式左边）变形，凑出结论（或等式右边）形式，以从中推出结论。把题设（或等式左边）先变形，再把结论（或等式右边）变形，凑出变形后的题设（或等式左边）形式。1．配凑法在化简

3、求值中的应用例.（高一）设，求的值。解：设，则由已知可得，而。点评：本题是把把题设（或等式左边）先变形，再把结论（或等式左边）变形，凑出变形后的题设（或等式右边）形式。2．配凑法在恒等式和不等式证明中的应用3．配凑法在方程中的应用例.（高二）设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围。解：方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,()+()＝＝＝＝≤7，解之得k≤－或k≥。又因为p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2，综上所述，k的取值范围是：－≤k

4、≤－或≤k≤。点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。4．配凑法在二次函数中的应用例.（高一）函数y＝log(－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。A.（－∞,]B.[,+∞)C.(－,]D.[,3)解：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及

5、复合函数的单调性求解。选D。5．配凑法在数列中的应用例.（高三）求和。分析：通分、拆项等技巧对本题均不适用，我们在进行分式运算时曾用过“逐项累加”的技巧，受此启发，如果把原题再配上一项，就可以进行累加了。解：原式点评：本题通过添项凑出能逐项累加的形式。6．配凑法在复数中的应用例.（高三）设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋()。分析:把已知式两边同时除以b变形为()＋()＋1＝0，则＝ω（ω为1的立方虚根），再把已知式配方为(a＋b)＝ab，把二者代入所求式即可得解。解法一:把a＋ab＋b=0变形为()＋()＋1＝0，设ω＝，则ω＋ω＋1＝0，

6、可知ω为1的立方虚根，所以＝，ω＝＝1，又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab，所以()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2。点评：本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。如果未联想到，可以用下面的解法：解法二：把a＋ab＋b＝0变形为()＋()＋1＝0，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()，再完成后面的运算。解法三：假如本题没有想到以上一系列变换过程，还可由a＋ab＋b＝0解出a＝b，代入所求表达式，进行分式化简后，化

7、成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。7．配凑法在三角中的应用例.（高一）求证：。解：左边右边点评：本题是把等式左边变形，凑出等式右边的形式（凑出右边的分母）。8．配凑法在立体几何中的应用例.（高二）已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。A.2B.C.5D.6分析：设长方体长宽高分别为x,y,z，则,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。解：设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：。长方体所求对角线长为：＝＝＝5所以选B。

8、点评：本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个