浙江2020版高考数学第六章平面向量、复数6.1平面向量的概念及线性运算讲义(含解析)

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1、§6.1 平面向量的概念及线性运算最新考纲考情考向分析1.理解平面向量及几何意义,理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.2.掌握平面向量加法、减法、数乘的概念,并理解其几何意义.主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理,常与三角函数、解析几何交汇考查,有时也会有创新的新定义问题;题型以选择题、填空题为主,属于中低档题目.偶尔会在解答题中作为工具出现.1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位

2、的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算

3、λa

4、=

5、λ

6、

7、a

8、,当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb3

9、.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.概念方法微思考1.若b与a共线,则存在实数λ使得b=λa,对吗?提示 不对,因为当a=0,b≠0时,不存在λ满足b=λa.2.如何理解数乘向量?提示 λa的大小为

10、λa

11、=

12、λ

13、

14、a

15、,方向要分类讨论:当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0或a为零向量时,λa为零向量,方向不确定.3.如何理解共线向量定理?提示 如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一个实数λ,使得a=λb.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×

16、”)(1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.( √ )(2)

17、a

18、与

19、b

20、是否相等与a,b的方向无关.( √ )(3)若a∥b,b∥c,则a∥c.( × )(4)若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( × )(5)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √ )(6)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.( × )题组二 教材改编2.[P86例4]已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且=a,=b,则=________,=________.(用a,b表示)答案 b-a -a-b解析 如图,==-=b-a,=-=--=-a

21、-b.3.[P92B组T4]在平行四边形ABCD中,若

22、+

23、=

24、-

25、,则四边形ABCD的形状为________.答案 矩形解析 如图,因为+=,-=,所以

26、

27、=

28、

29、.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知,四边形ABCD是矩形.题组三 易错自纠4.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.若a∥b,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.5.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=____________.答

30、案 解析 ∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则解得λ=μ=.6.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.答案 解析 =+=+=+(+)=-+,∴λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.题型一 平面向量的概念1.给出下列命题:①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则ABCD为平行四边形;③a=b的充要条件是

31、a

32、=

33、b

34、且a∥b

35、;④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中真命题的序号是________.答案 ②解析 ①错误,两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点;②正确,因为=,所以

36、

37、=

38、

39、且∥;又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;③错误,当a∥b且方向相反时,即使

40、a

41、=

42、b

43、,也不能得到a=b,所以

44、a

45、=

46、b

47、且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件;④错误,当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线.故填②.

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