常微分方程初值问题的数值解法上机报告.docx

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1、常微分方程初值问题的数值解法上机报告（一）问题：考虑著名的Lorenz方程dxdt=σ(y-x)dydt=ρx-y-xzdzdt=xy-βz其中σ,β,ρ为变化区域有一定限制的实参数。（1）对取定的参数值σ=10,β=28,ρ=8/3，选取不同的初值，观察计算的结果有什么特点？解的曲线是否有界，是不是周期的或者趋于某个固定的点？（2）在问题允许的范围内适当改变其中的参数值，再选取不同的初值，观察并记录计算的结果有什么特点？是否发现什么不同的现象？（二）解决问题的算法考虑一阶常微分方程组初值问题dydx=fx,y,a≤x≤bya=η,其中yx=(y1x,y2x,…,ymx)T,η=(η1

2、,η2,…,ηm)Tfx,y=(f1x,y,f2x,y,…,fmx,y)T可以用四级四阶古典Runge-Kutta方法求解：yn+1=yn+16h(k1+2k2+2k3+k4)k1=f(xn,yn)k2=f(xn+12h,yn+12hk1)k3=f(xn+12h,yn+12hk2)k4=f(xn+h,yn+hk3)（三）使用的软件IDL（四）数值结果及结果分析取h=0.001s显然，当初值取为(0,0,0)T时，x,y,z恒为0.(1)取定参量值σ=10,β=28,ρ=8/3仅对初值的x分量作一个小扰动，取为(0.0001,0,0)T，此时求解该常微分方程组，可以得到如下的轨迹：解的曲

3、线有界，但是曲线不是周期的，而且不会趋于某个固定的点，而是在两个值附近振荡。仅对初值的y分量作一个小扰动，取为(0,0.0001,0)T，可以得到如下轨迹：可以得到和上面相同的结论。仅改变初值的z分量，取为(0,0,20)T，可以得到如下轨迹：可以看到只改变z方向的初值，结果为一条直线。这是由于根据方程可知，当x=0,y=0时dxdt=0,dydt=0，x，y不随时间变化，仅z随时间变化。下面改变方程的初值来求解。当初值取为(-5,-5,-5)T时，可以得到如下轨迹：当初值取为(200,200,200)T时，可以得到如下轨迹：将t比较大时曲线的轨迹放大：可以看出，当初值均为负数或者绝对

4、值都很大时，仍然满足解的曲线有界，且在某个值附近振荡。将非原点附近的点设为初值并作一小扰动，并画图来进行比较。设初始值为(5,5,5)T（红色线）和(5,5.0001,5)T（蓝色线），作出三个分量随时间的变化：对y的初值作一极小的扰动（0.0001），在t>20后坐标的变化就会千差万别。对x作同样地扰动，会得到相似的结果。设初始值为(5,5,5)T（红色线）和(5.0001,5,5)T（蓝色线），作出三个分量随时间的变化：对z作同样地扰动，会得到相似的结果。设初始值为(5,5,5)T（红色线）和(5,5,5.0001)T（蓝色线），作出三个分量随时间的变化：可见，对x、y、z作极小的

5、扰动，求解同样地常微分方程组就会得到相差甚远的结果。可见，本题中方程组的解及其依赖其初值。总之，对于不同的初值，只要x、y初值不全为零，解的曲线有界，但是曲线不是周期的，而且不会趋于某个固定的点，而是在一个值或者两个值附近振荡。而且方程组的解对初值条件很敏感。(2)改变参量值只改变σ，①取参数值为σ=12,β=28,ρ=8/3，初值选为(5,5,5)T：对x的初值作一极小的扰动（0.0001），设初始值为(5,5,5)T（红色线）和(5,5,5.0001)T（蓝色线），下面仅考察x随时间的变化：可见与(1)有相似的结论。另取任意初值(12,7.2,5.3)T：初值(-2,-5,-0.3

6、)T：可见对不同的初值，有着与（1）相似的结果。②取参数值为σ=4,β=28,ρ=8/3，初值选为(5,5,5)T：解会趋于某个特定的点。对x的初值作一极小的扰动（0.0001），设初始值为(5,5,5)T（红色线）和(5,5,5.0001)T（蓝色线），下面仅考察x随时间的变化：可见小扰动对结果几乎没有影响。另取任意初值(10,20,15)T：考察其x分量变化：可知解会趋于某个特定的点。另取任意初值(-2,-5,-0.3)T：考察x的变化：可知解会趋于某个特定的点。不同的初值收敛到不同的点，且收敛速度有差异。③取参数值为σ=2,β=28,ρ=8/3，初值选为(5,5,5)T，可以得到

7、轨迹：经过分析会发现和②有相同的结果。可见，在固定两个参数值β,ρ，改变另一个参数值σ时，σ的不同取值会影响该问题的解，有可能和（1）中结果类似，也有可能出现解趋于某个固定的点的现象。对于后一种情形，小扰动不会造成“混沌”的现象，不同的初值会有不同的收敛点、收敛速度。只改变ρ或σ会出现相似的现象，不再赘述。