浙江版高考数学第五章三角函数、解三角形5.4简单的三角恒等变换（第2课时）简单的三角恒等变换讲义

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1、第2课时　简单的三角恒等变换题型一　三角函数式的化简1．化简：＝.答案　2cosα解析　原式＝＝2cosα.2．化简：＝.答案　cos2x解析　原式＝＝＝＝＝cos2x.3．化简：－2cos(α＋β)．解　原式＝＝＝＝＝＝.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．题型二　三角函数的求值命题点1　给角求值与给值求值例1(1)[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝.答案

2、　解析　原式＝·sin80°＝·cos10°＝2[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.(2)已知cos＝，θ∈，则sin＝.答案　解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin2θ＝－，即sin2θ＝.因为cos＝>0，θ∈，所以0<θ<，2θ∈，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝，由两角差的正弦公式，可得sin＝sin2θcos－cos2θsin＝×－×＝.(3)已知cos＝，<α<，则的值为．答案　－解析　＝＝＝sin2α·＝sin2α·tan.由<α<，得<

3、α＋<2π，又cos＝，所以sin＝－，tan＝－.cosα＝cos＝－，sinα＝－，sin2α＝.所以＝×＝－.命题点2　给值求角例2(1)设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为(　　)A.B.C.D.或答案　C解析　∵α，β为钝角，sinα＝，cosβ＝－，∴cosα＝－，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为．答案　－解析　∵tanα＝tan[(α－β

4、)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<.又∵tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝.答案　解析　∵α，β为锐角，∴cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.又0<α＋β<π，∴α＋β＝.思维升华(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．跟踪训

5、练1　(1)已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝.答案　解析　∵α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，又∵α∈，sinα＋cosα>0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝，sinα＝，∴＝＝＝.(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝.答案　解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ

6、＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝.题型三　三角恒等变换的应用例3(2017·浙江)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解　(1)由sin＝，cos＝－，得f＝2－2－2××＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx，得f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质，得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈

7、Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练2(2018·浙江绍兴六校质检)已知函数f(x)＝mcosx＋sin的图象经过点P.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若f(α)＝，α∈，求sinα的值．解　(1)由题意可知f＝，即＋＝，解得m＝1.所以f(x)

8、＝cosx＋sin＝cosx＋sinx＝sin，由正弦函数的性质得，－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增