复变函数与-积`分变换自测题

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1、-_复变函数与积分变换自测题1：第一章至第三章1、已知函数f(z)在z0处连续，且f(z0)≠0.求证：存在z0的某个邻域，f(z)在其中处处不为0.2、试将1-cosθ+isinθ化为指数形式。3、计算（3+4i）1+i。4、计算tan(3-i)。（注意：指最后结果需将实部、虚部分离）5、求解方程sinz+icosz=4i。6、已知v(x,y)=epxsiny是调和函数，求实常数p的值，并求对应的复变解析函数f(z)=u+iv。7、已知f(z)=ex[xcosy-ysiny+i(ycosy+xsiny)]，求f′(z)。8、已知解析函数f(z)

2、满足，当z≠0时，f′(z)=，求f(z)。9、计算，其中C：由0到2+i的有向线段。10、计算，其中C：正向。11、计算，其中C：顺时针方向。12、计算，其中C：（1，0）沿单位圆的上半周至（-1,0）.13、计算，其中C：。已知条件：f(z)在内解析，且f(0)=1,f′(0)=2.由此再计算的值。自测题1答案1、证明：反设题设结论不成立。用数学语言表示：。于是由于f(z)在z0处连续（连续必极限存在），及复变函数极限的定义，知f(z0)=0，与题目已知条件矛盾。∴题设结论获证。2、化为指数形式意味着必须标准化，成为形式。-_我们首先计算复数

3、的模。（逆用二倍角公式，这一点大家一定要掌握）（绝对值符号千万表丢了）下面考虑复数的辐角。（逆用二倍角公式，注意cot0无意义，事实上时，原复数为0，辐角不存在，也不需要表示为指数式了）。因此，只要时，原复数就可以表示为下面的指数式：。1、遇到这样的问题一定要用最原始的方法进行计算，首先计算，则原式=（为什么可以这样？因为）由此可见，我们绝对不能忽略Lnz的多值性，2kπi很重要！2、tan(3-i)=（和差角公式）（注意恒等式与二倍角公式的巧妙运用）3、这个问题显然不经处理是无法轻易解决的。考虑原方程可化为，则我们可知-iz=Ln4.从而z=i

4、Ln4=iln4-2kπ。4、-_。（想想为什么可以这样快地得到结果？知道前者就可以对偶地将后者设出来啦～）1、解这样的问题，以首先化简f(z)为宜，因为复变函数的求导法则与实函数相同。。（将复变初等函数展开为u、v的形式，要烂熟于心，“挫骨扬灰”都能认出来！）2、方法一（强烈推荐！解析函数法），其中z≠0，C为任意复常数。方法二：首先利用已知条件求得，再利用Cauchy-Riemann条件，通过“偏积分”的方法将u、v求出。（很罗嗦，这里不作演示了）9、利用参数法，本题答案为。10、大家可以发现本题的解决依赖于第2题的结论！令，则原式=（注意：

5、积分上下限的变化、积分变量的变化、被积函数的变化）=。11、考虑复变函数的积分是线积分，可以将积分曲线的方程代入表达式，则显然分母被消去，原式=0.12、易见（用原函数法），而（令）=，∴原式=。13、本题大家要勇于对拆项计算，利用Cauchy积分公式与一阶导数公式，它等于8πi；因此，运用参数化方法，=2π.-_复变函数与积分变换自测题2：第四章1、幂级数的收敛半径是多少？2、在z=0的邻域内将展开成泰勒级数，它的收敛半径是多少？3、判别的敛散性。4、证明{cos（in）}是无界数列，并判别的敛散性。5、求在z=0处的泰勒展开式，其中C：正向。

6、6、求在圆环域和内的洛朗展式。自测题2答案7、本题计算的要点在于极限式的变换，因为复变幂级数与实函数的幂级数，求收敛半径的方法是相同的。答案是0，因为极限式化简至最后形如。8、考虑f(z)的第一个不解析点（指离复平面原点最近的一个）为z=1，则收敛半径就是1.这是课本上一个很重要的结论，因为洛朗级数展开时分圆环域讨论的思想，即由此而来。9、这级数是收敛的。遇到这类问题，第一步一定是将实部虚部剥离，分别判定敛散性。大家可以先写出前几项，继而得出结论：原级数=i+，实部、虚部均收敛。因为它们满足Leibniz准则：通项取绝对值后单调递减且趋于0.这是

7、验证常数项交错级数敛散性，最重要的方法。，大家还记得吗？？10、证明{cos（in）}是无界数列，并判别的敛散性。普里瓦洛夫（前苏联复变函数论泰斗）-_是莫斯科大学的教授，一次期末口试(要知道,口试可比笔试难多了, 无论是从教师还是从学生的角度来说)， 有一个学生刚走进屋子，就被当头棒喝般地问了一句“sin z有界无界？”此人稀里糊涂地回答了一句“有界”，就马上被判不及格，实在是不幸之至。本题实际考查的核心即是sinz、cosz无界，因为当y为实数时，cos(iy)=chy=。因此，本题不证自明，级数发散。1、解本题的核心是视，对给定的z用一阶导

8、数公式，则可得f(z)=2πisin2z。这一函数的泰勒展式是十分简单的。2、考虑十分复杂，对于这样的分式多项式函数求洛朗展式，多采用分