高考数学复习第九章平面解析几何第8节曲线与方程学案理新人教b版

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1、第8节　曲线与方程最新考纲　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.知识梳理1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤[常用结论与微点提醒]1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不

2、必要条件.2.曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.(　　)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.(　　)(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(　　)(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线.(　　)解析　对于(2)，由方程

3、得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝是曲线x＝y2的一部分，错误.答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2.已知M(－1，0)，N(1，0)，

4、PM

5、－

6、PN

7、＝2，则动点P的轨迹是(　　)A.双曲线B.双曲线左支C.一条射线D.双曲线右支解析　由于

8、PM

9、－

10、PN

11、＝

12、MN

13、，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.答案　C3.(2018·广州调研)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表

14、示的曲线是(　　)A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.答案　D4.已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是(　　)A.(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)B.(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)C.(x－2)2＋y2＝4(y≠0)D.(x－1)2＋y2＝1(y≠0)解析　由角的平分线性质定理得

15、PA

16、＝2

17、PB

18、，设

19、P(x，y)，则＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)，故选C.答案　C5.过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是________.解析　设MN的中点为P(x，y)，则点M(x，2y)在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1(a>b>0).答案　＋＝1(a>b>0)考点一　直接法求轨迹方程【例1】(1)(2018·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长

20、CD

21、＝3，则顶点A的轨迹方程为________.(2)(2018·大同模拟)

22、与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________.解析　(1)设A(x，y)，由题意可知D.又∵

23、CD

24、＝3，∴＋＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0).(2)若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2＋y2－6x＝0外切的圆的圆心为P(x，y)(x>0)，则半径长为

25、x

26、，因为圆x2＋y2－6x＝0的圆心为(3，0)，所以＝

27、x

28、＋3，则y2＝12x(x>0)，若动

29、圆在y轴左侧，则y＝0，即圆心的轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0).答案　(1)(x－10)2＋y2＝36(y≠0)　(2)y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)规律方法　直接法求曲线方程的关键点和注意点(1)关键点：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译成代数方程，要注意翻译的等价性，通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略.(2)注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.【训练1】(2018·聊城模拟)在平面直角坐标

30、系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________.解析　设C(x，y)，则由＝＋t(－)得－＝t(－)，所以＝t，即(x－1，y)＝t(1，2)，故消去t得y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.答案　2x－y－2＝0考点二　相关点(代入)法求轨迹方程【例2】(1)(2017·银川模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时