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1、2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设，则=（2）曲线的斜渐近线方程为：（3）（4）微分方程满足的解为：（5）当时，与是等价无穷小，则k=（6）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.第19页共19页（8）
2、设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.（9）设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A).(B).(C).(D).（10）设区域，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则(A).(B).(C).(D).（11）设函数,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A).（B）.(
3、C).(D).（12）设函数则(A)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.第19页共19页(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.（13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A).(B).(C).(D).（14）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换的第1列与第2列得.(B)交换的第1行与
4、第2行得.(C)交换的第1列与第2列得.(D)交换的第1行与第2行得.三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且，求极限（16）（本题满分11分）第19页共19页如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增函数的图象.过上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线和.记与所围图形的面积为；与所围图形的面积为如果总有，求曲线的方程（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(
5、0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分第19页共19页（18）（本题满分12分）用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：（I）存在使得；（II）存在两个不同的点，使得第19页共19页（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y)的全微分，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）计算二重积分，其中.第19页共19页
6、（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.第19页共19页2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）解：方法一：=，于是，从而=方法二：两边取对数，，对x求导，得，于是，故=（2）.解：因为a=，于是所求斜渐近线方程为（3）.解：令，则第19页共19页=（4）.解：原方程等价为，于是通解为=
7、，由得C=0，故所求解为【评注】本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外，本题也可如下求解：原方程可化为，即，两边积分得，再代入初始条件即可得所求解为（5）.【分析】题设相当于已知，由此确定k即可.解：由题设，==，得第19页共19页（6）2.解：由题设，有=，于是有【评注】本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若，，，则有二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）
8、[C]解：当时，；第19页共19页当时，；当时，即可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).（8）[A]解：方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函数；反
