2018_2019学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例讲义（含解析）

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1、二用数学归纳法证明不等式举例1．利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．2．归纳—猜想—证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．利用数学归纳法证明不等式[例1]　证明不等式1＋＋＋…＋＜2(

2、n∈N＋)．[思路点拨]　―→―→[证明]　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时不等式成立，即1＋＋＋…＋＜2，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＜2＋＝，现在只需证明＜2成立，即证2＜2k＋1成立，两边平方并整理，得0＜1，显然成立，所以＜2成立．即1＋＋＋…＋＋＜2成立．所以当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对于任意正整数n，原不等式都成立．数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能

3、使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．1．设Sn是数列的前n项和，当n≥2时，比较S2n与的大小，并予以证明．解：由S22＝1＋＋＋＝＞，S23＝1＋＋＋＋＋…＋＞S22＋＋＋＋＞＋＝，猜想：S2n＞(n≥2)．下面用数学归纳法证明．(1)当n＝2时，上面已证不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，有S2k＞，则当n＝k＋1时，S2k＋1＝S2k＋＋＋…＋＞＋＝＋＝，即当n＝k＋1

4、时，不等式也成立．结合(1)(2)可知，S2n＞(n≥2，n∈N＋)成立．2．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)．证明：(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即1＋＋＋…＋<2－，当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，所以当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知原不等式在n≥2，n∈N＋时均成立．3．设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．解：(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.(2)当n≥3时，(以下再对x进

5、行分类)．①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn.②若x＝0，则Pn＝Qn.③若x∈(－1,0)，则P3－Q3＝x3<0，所以P3

6、式；(2)用数学归纳法证明你的结论．[解]　(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；a3＝f(a2)＝＝；a4＝f(a3)＝＝.猜想an＝(n∈N＋)．(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想正确，即ak＝，则ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝.这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，对于任何n∈N＋，都有an＝.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察—归纳—猜想—证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．4．在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，b

7、n，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值，由此猜测{an}，{bn}的通项公式；(2)证明你的结论．解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.(2)用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上知结论成立．②假设当n＝k时，结论成立．即ak＝k(k＋1)，