2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术几何平均不等式讲义（含解析）

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1、3．三个正数的算术—几何平均不等式1．定理3如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(1)不等式≥成立的条件是：a，b，c均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a＝b＝c.(2)定理3可变形为：①abc≤3；②a3＋b3＋c3≥3abc.(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．2．定理3的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…

2、＝an时，等号成立．用平均不等式证明不等式　　[例1]　设a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)2≥27.[思路点拨]　本题考查平均不等式的应用，解答本题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明的问题．[证明]　∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3>0，从而(a＋b＋c)2≥9>0，又＋＋≥3>0，∴(a＋b＋c)2≥3·9＝27.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．证明不等式的方法与技巧(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理．若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后

3、再使用定理证明．(2)三个正数的算术—几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．1．设a，b，c∈R＋，求证(a＋b＋c)≥9.证明：∵当a，b，c∈R＋时，a＋b＋c≥3，＋＋≥3.∴(a＋b＋c)≥9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．已知a1，a2，…，an都是正数，且a1a2…an＝1，求证：(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.证明：因为a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a1＝1＋1＋a1≥3.同理2＋aj≥3(j＝2,3，…，n)．将上述各不等式的两边

4、分别相乘即得(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥(3)(3)…(3)＝3n·.∵a1a2…an＝1，∴(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.当且仅当a1＝a2＝…＝an＝1时，等号成立.用平均不等式求最值[例2]　(1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值．(2)求函数y＝x＋(x>1)的最小值．[思路点拨]　(1)对于积的形式求最大值，应构造和为定值；(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值．[解]　(1)∵10，x－1>0.y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3＝3＝，当且仅当

5、x－1＝x－1＝3－2x，即x＝∈时等号成立，即ymax＝.(2)∵x＞1，∴x－1>0，y＝x＋＝(x－1)＋(x－1)＋＋1≥3＋1＝4，当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，即x＝3时等号成立．即ymin＝4.(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件：即“一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．3．设x>0，则f(x)＝4－x－的最大值为(　　)A．4－

6、　　　　　B．4－C．不存在D.解析：选D　∵x>0，∴f(x)＝4－x－＝4－≤4－3＝4－＝，当且仅当＝＝，即x＝1时等号成立，故f(x)的最大值为.4．已知a>b>c，求a－c－的最小值．解：由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，则a－c－＝(a－b)＋(b－c)＋≥3＝3，当且仅当a－b＝b－c＝时等号成立，所以当a－b＝b－c＝时，a－c－取得最小值3.用平均不等式解应用题　　[例3]　如图所示，在一张半径是2m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，

7、桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？[思路点拨]　→→→→[解]　∵r＝，∴E＝k·.∴E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·3＝.当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝，tanθ＝.∴h＝2tanθ＝，即h＝时，E最大．本题获解的关键是在获得了E＝k·后，对E的表达式进行变形求得E的最大值．解应用题时必须先读懂题意，

8、建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可