信号处理中傅里叶变换简介

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1、傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f(x)，可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式，本质上自变量未改变，仍为x，而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式，同时将自变量由x变成ω，且由于三角函数处理比较简单，具有良好的性质，故被广泛地应用在信号分析与处理中，可将时域分析变换到频域进行分析。信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数）、CFT（连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换）、DFS（离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换）。

2、通过对连续非周期信号xc(t)在时域和频域进行各种处理变换，可推导出以上几种变换，同时可得出这些变换之间的关系。以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。1、CFS（连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x)可展开为由此类比，已知连续周期信号x(t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，19为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式ejz=cosz+jsinz得故有19令则对于Dn，有n≤0时同理。故CFS图示如下：19Figure1理论上，CFS对于周期性信号x(t)在任意处展开都可以做到无误

3、差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。在实践中，只要n取值范围足够大，就可以保证在某一点附近对x(t)展开都有很高的精度。2、CFT（连续时间傅里叶变换）连续非周期信号x(t)，可以将其看成一连续周期信号的周期T0→∞。当然，从时域上也可以反过来看成x(t)的周期延拓。将x(t)进行CFS展开，有若令则有19T0→∞使得Ω0→0，则由此，定义傅里叶变换与其逆变换如下CFT：CFT-1：x(t)是信号的时域表现形式，X(jΩ)是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。CFT即将x(t)分解，并按频率顺

4、序展开，使其成为频率的函数。上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）。CFS中的Dn与CFT中的X(jΩ)之间有如下关系即从频域上分析，Dn是对X(jΩ)的采样（可将Figure1与Figure2进行对比）。CFT图示如下：19Figure23、DTFT（离散时间傅里叶变换）首先，先从连续信号得到离散信号。用冲激信号序列对连续非周期信号xc(t)进行采样，采样间隔为Ts，有此时的xs(t)还不是真正的离散信号，它只是在满足t=nTs的时间点上有值，在其它时间点上值为零。对x

5、s(t)进行进一步处理有规定则19其中，x[n]是最终所得的离散信号。xs(t)自变量为t，其单位为秒s，间隔为TS；x[n]自变量为n，其单位为1，间隔为1。从频域分析上有其中。令，定义以上式为DTFT定义式。DTFT逆变换为DTFT是在时域上对CFT的采样（图示可见Figure3与Figure4），在DTFT中，时域信号x[n]为离散的，而对应的频域表示X(ejω)为连续的，且有周期ωs=2π。X(ejω)与Xs(jΩ)之间的关系为19ω=ΩTsXs(jΩ)中，自变量Ω单位为弧度/秒（rad/s），周期为Ωs

6、=2π/Ts；X(ejω)中，自变量ω单位为弧度（rad），周期为ωs=2π。CFT时域采样图示如下：Figure3DTFT图示如下：Figure44、DFS（离散时间傅里叶级数）在离散时间信号x[n]基础上，用冲激序列对DTFT中的X(ejω)进行采样，采样间隔为Δω=2π/N，则有而S(ω)的逆DTFT变换为19对Xs(ejω)进行逆DTFT变换，有xs[n]相当于对x[n]进行了周期延拓，周期为N=2π/Δω。由上式可得若延拓周期N大于x[n]的时长，则延拓不会发生混叠，于是k为任意整数令周期信号，k为任意

7、整数，则19有取ω=2πk/N，令则有是以k为自变量的函数，有以下性质m为任意整数即的周期为N。为了避免重复计算，我们只考虑一个周期N内的情况，即同时，19为时域表示，为频域表示。故定义DFS为其逆变换为的自变量n单位为1，周期为N；的自变量k单位为1，周期也为N19。DFS应用于离散时间周期性信号中，其相当于在频域中对DTFT采样，而对应地在时域中相当于对DTFT进行周期延拓（图示见Figure5与Figure6）。DFS与DTFT的关系为DTFT频域采样图示如下：Figure5DFS图示如下：Figure65

8、、DFT（离散傅里叶变换）在DFS基础上，取离散时间周期性信号的基础上，0,1,2,…N-1这一个周期内的N个点，得其中，RN[n]表示当n=0,1,2,…N-1时函数取值为1，当n取其它值时函数取值为0。定义DFT为其逆变换为19xd[n]的自变量n单位为1，时长为N；Xd[k]的自变量k单位为1，时长也为N。DFT相当于对DFS的时域及频域都取0,1,2,…N-1这一