2020版高考数学复习函数、导数及其应用第12讲定积分与微积分基本定理讲义理（含解析）

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1、第12讲　定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

2、数)．性质2：[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±g(x)dx.性质3：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx.4.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)

3、，即f(x)dx＝F(x)

4、＝F(b)－F(a)．5.定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S.(1)S＝f(x)dx；(2)S＝－f(x)dx；(3)S＝f(x)dx－f(x)dx；(4)S＝f(x)d

5、x－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.6.函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有：(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(2)设f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.1.概念辨析(1)在区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝

6、f(x)

7、dx.(　　)(2)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　)(3)已知质点的速度v＝mt(m>0)，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是mtdt＝.(　　)答案

8、　(1)√　(2)×　(3)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.小题热身(1)如图，指数函数的图象过点E(2，9)，则图中阴影部分的面积等于(　　)A.B．8C.D．9答案　A答案　B(3)

9、x

10、dx＝________.答案　解析　

11、x

12、dx的几何意义是函数y＝

13、x

14、的图象与x轴围成的图形(如图阴影所示)的面积，所以

15、x

16、dx＝×1×1＋×2×2＝.(4)若x2dx＝9，则常数t的值为________．答案　3解析　x2dx＝

17、＝＝9，解得t＝3.题型　定积分的计算答案　C解析　2.(3x3＋4sinx)dx＝________.答案　0解析

18、　易证函数f(x)＝3x3＋4sinx为奇函数，所以(3x3＋4sinx)dx＝0.3.dx＝________.答案　解析　求定积分的常用方法(1)微积分基本定理法其一般步骤为：①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的和、差、积或商．②把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．③分别用求导公式找到一个相应的原函数．④利用微积分基本定理求出各个定积分的值．⑤计算原始定积分的值．(2)几何意义法将待求定积分转化为一个易求平面图形的面积，进而求值．如举例说明3.(3)基本性质法对绝对值函数、分段函数，

19、可利用定积分的基本性质将积分区间分解为若干部分求解．1.(2018·华南师大附中一模)

20、x2－4

21、dx＝(　　)A.7B.C.D．4答案　C解析　2.e

22、x

23、dx的值为________．答案　2(e－1)解析3.若f(x)＝，则f(x)dx＝________.答案　π解析　令y＝，则(x－1)2＋y2＝4(y≥0)，所以函数f(x)的图象是以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x轴上方(包括x轴)的部分，所以f(x)dx＝×π×22＝π.题型　利用定积分求平面图形的面积角度1　求平面图形的面积(多维探究)1.(2018·玉溪模拟)由曲线xy＝1，直线y

24、＝x，x＝3及x轴所围成的曲边四边形的面积为(　　)A.B.C.＋ln3D．4－ln3答案　C解析　条件探究1　将举例说明1中的“曲边四边形”改为“由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形”，试求此平面图形的面积．解　条件探究2　将举例说明1中的“曲边四边形”改为“由y＝，y＝－x＋2及x轴围成的封闭图形”，试求此平面图形的面积．解　角度2　已知平面图形的面积求参数答案　(1,1)解析　角度3　与其他知识的交汇命题答案　B解析　由题意可得，是与面积有关的几何概率问题．构成试验的全部区域是矩形OABC，面积为a×＝6，记“向矩形OABC

25、内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A的区域即为阴影部分面积，为利用定积分求平面图形面积的四个步骤1．如图