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1、高等数学求极限的方法总结[摘要]极限是数学分析中的一个重点内容，对极限的求法可谓是多种多样，本文归纳了数学分析中求极限的十三种方法，并通过一些实例加以分析，说明如何应用.[关键词]极限；方法；实例1引言极限是数学分析（高等数学）中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态，是数学分析中许多重要概念的基础，但在数学分析课本中只简单的介绍了极限的定义和一些基本解法,而没有详细的研究其内容.文献中对极限的性质及求极限的算法进行了研究，比如介绍了用夹逼法则求极限；单调有界准则求极限；导数定义求极限等.而本课题主要是对散见于文献中的极限求解的各种研究结果进行系统地归纳总结，并
2、考虑这些方法的具体应用.2极限的求法2.1利用两个准则求极限定理1函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数,当时，有且，则.利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和、，使得.例1，求的极限.解因为单调递减，所以存在最大项和最小项,,则,又因为,所以.定理2单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一.利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限.。例2证明下列数列的极限存在，并求极限.证明从这个数列构造来看显然是单调增加的，用归纳法可证，，，，所以得.因为前面证明是单调增加的.两端除以得，因
3、为第7页共7页高等数学，则,从而，即，即是有界的。根据定理有极限，且极限唯一.令，则，即.因为，解方程得，所以.2.2利用极限的四则运算性质求极限性质1设，，则(1)；(2)；(3)若则：；（4）（为常数）上述性质对于时同样成立.总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商.例3求极限(1);(2);(3);(4)已知，求.解(1).(2).(3).(4)因为,所以.2.3利用导数的定义求极限第7页共7页高等数学定义1函数在附近有定义，对有如果存在，则此极限值就称函数在点的导数记为.即.在这种方法的运用过程中,首先要选好，然后把所求极限表示成在定点的导数.例
4、4求.解取,则.2.4利用两个重要极限公式求极限定理3利用两个极限公式（1）;（2）.和它们的变形：在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式.例5求下列函数的极限(1);(2).解(1)因为,所以第7页共7页高等数学,所以.（2）.2.5利用函数的连续性求极限性质2（1）若在处连续则;（2）若是复合函数，又且在处连续，则.这种方法适用于求复合函数的极限.如果在点连续,而在点连续，那么复合函数在点连续.即也就是说，极限号可以与符号互换顺序.例6求.解令,,因为在点处连续,所以.2.6利用级数收敛的必要条件求极限性质3利用级数收敛的必要条件：若级数收
5、敛，则.运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限.例7求.解设，则.由比值判别法知收敛.由必要条件知第7页共7页高等数学.2.7利用等价无穷小量代换求极限定理4无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是）.定理5当时，下列函数都是无穷小（即极限是），且相互等价，即有～～～～～～.说明：当上面每个函数中的自变量换成时（），仍有上面的等价关系成立.定理6如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即.等价无穷小量：当时，称,是等价无穷小量，在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替.但是，不是乘除的情况，不一定能这样做.例8求.解因为与
6、是等价无穷小量，所以.2.8利用中值定理求极限定理7（微分中值定理）若函数满足（1）在连续;（2）在可导；则在内至少存在一点，使.例9求.解,.定理8（积分中值定理）设函数在闭区间上连续;在上不变号且可积，则在上至少有一点使得.第7页共7页高等数学例10求.解.2.9洛必达法则求极限定理9（1），;（2）与在的某空心邻域内可导，且;（3）（可为实数，也可为或）,则.此定理是对型而言.运用洛必达法则求极限应注意以下几点（1）要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导.（2）应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.（3）要及时化简极限符号后面的分式，在化简以
7、后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误.（4）当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法.例11求.解因为,所以上述极限是待定型,.2.10利用定积分求和式的极限定理10利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数.把所求极限的和式表示成在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限.例12求.解因为第7页共7页高等数学,可取函数区间为上述和式恰好是在上等分的积分和.所以.2.11利用泰勒展开式
