2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明 同步练习 1

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1、2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明同步练习11．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　)A．1B．2C．3D．4答案：A2．已知x，y，z为正数，x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　)A.B.C.D．不存在答案：B3．同时满足2x＋3y＋z＝13…(1)，4x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82…(2)的实数x、y、z的值分别为____，____，____.解析：可令x1＝2x，x2＝3y＋3，x3＝z＋2，则x1＋x2＋

2、x3＝18且x＋x＋x＝108.由此及柯西不等式得182＝(x1＋x2＋x3)2≤(x＋x＋x)(12＋12＋12)＝108×3，上式等号成立的充要条件＝＝⇒x1＝x2＝x3＝6⇒x＝3，y＝1，z＝4.答案：3　1　44．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．解析：由柯西不等式得：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝3×[4(a＋b＋c)＋3]＝21.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．∴＋＋的最大值为.5．a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求

3、证：2＋2＋2≥.证明：∵(12＋12＋12)≥2＝2，而(a＋b＋c)≥(1＋1＋1)2＝9，即＋＋≥9，∴2≥100，∴2＋2＋2≥.6．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：由柯西不等式得[()2＋()2＋()2]≥2，于是(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，即＋＋≥a＋b＋c.7．设a，b，c为正数，且不全相等，求证：＋＋>.证明：构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，即2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.①由柯西不等式知，①式中等号成立⇔＝＝⇔a＋b

4、＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因题设a，b，c不全相等，故①式中等号不成立．于是＋＋>.8．(2013·湖南卷)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为______．解析：使用柯西不等式求解．∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．答案：129．(2013·湖北卷)设x，y，z∈R，且满足；x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋

5、3z＝，则x＋y＋z＝________.分析：先利用柯西不等式求出x＋2y＋3z的最值，再结合题目条件得到x＋2y＋3z的值，然后根据等号成立的条件求出x，y，z的值，从而求得x＋y＋z的值．解析：由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤.因为x＋2y＋3z＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于是x＋y＋z＝.答案：10．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝2

6、0，则＝(　　)A.B.C.D.解析：由于(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2等号成立当且仅当＝＝＝t，则a＝tx，b＝ty，c＝tz，t2(x2＋y2＋z2)＝10.由题知t＝，又＝＝＝，所以＝t＝.答案：C11．已知函数f(x)＝m－

7、x－2

8、，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.解析：(1)因为f(x＋2)＝m－

9、x

10、，f(x＋2)≥0等价于

11、x

12、≤m.由

13、x

14、≤m有解，得m≥0且其解集为

15、{x

16、－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.(2)由(1)知：＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得：a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥2＝9，即a＋2b＋3c≥9.