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1、第二十二讲园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理.圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,其本质是与比例线段有关.相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系,主要体现在:1.用运动的观点看,切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形,即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况;2.从定理的证明方法看,都是由一对相似三角形得到的等积式.熟悉以下基本图形、基本结论:【例题求解】【例1】如图,PT切⊙O于点T,PA交⊙O于A、B两点,且与直径CT交于点D,CD=2,AD=3,BD=6,则PB=.思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长.注:比例线段是几何之

2、中一个重要问题,比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程,大致经历了四个阶段:(1)平行线分线段对应成比例;(2)相似三角形对应边成比例;(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来;(4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来.【例2】如图,在平行四边形ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于点E,且与CD相切,若AB=4,BE=5,则DE的长为()A.3B.4C.D.思路点拨连AC,CE,由条件可得许多等线段,为切割线定理的运用创设条件.注:圆中线段的算,常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识,通过代数化获解,加强对图形的分解,注重信息的重组与整合是

3、解圆中线段计算问题的关键.【例3】如图,△ABC内接于⊙O,AB是∠O的直径,PA是过A点的直线,∠PAC=∠B.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)如果弦CD交AB于E,CD的延长线交PA于F,AC=8,CE:ED=6:5,,AE:BE=2:3,求AB的长和∠ECB的正切值.思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识.(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件;引入参数x、k处理(2)问中的比例式,把相应线段用是的代数式表示,并寻找x与k的关系,建立x或k的方程.【例4】如图,P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点,DP与AC、BC分别交于点E、E,EG是过B、F、P三点圆的切线,G

4、为切点,求证:EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP,要证明EG=DE,只需证明DE2=EF·EP,这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明.注:圆中的许多问题,若图形中有适用圆幂定理的条件,则能化解问题的难度,而圆中线段等积式是转化问题的桥梁.需要注意的是,圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明,可拓展到平面几何各种类型的问题中.【例5】如图,以正方形ABCD的AB边为直径,在正方形内部作半圆,圆心为O,DF切半圆于点E,交AB的延长线于点F,BF=4.求:(1)cos∠F的值;(2)BE的长.思路点拨解决本例的基础是:熟悉圆中常用辅助线的添法(连O

5、E,AE);熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法.对于(1),先求出EF,FO值;对于(2),从△BEF∽△EAF,Rt△AEB入手.注:当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形,善于分析图形是解与圆相关综合题的关键,分析图形可从以下方面入手:(1)多视点观察图形.如本例从D点看可用切线长定理,从F点看可用切割线定理.(2)多元素分析图形.图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形.(3)将以上分析组合,寻找联系.学力训练1.如图,PT是⊙O的切线,T为切点,PB是⊙O的割线,交⊙O于A、B两点,交弦CD于点M,已知CM=10,MD=2,PA=MB=4,则

6、PT的长为.2.如图,PAB、PCD为⊙O的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,则AC:BD=.3.如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点,CD是⊙O的切线,D为切点,过点B作⊙O的切线交CD于点F,若AB=CD=2,则CE=.4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为()A.6.4B.3.2C.3.6D.85.如图,⊙O的弦AB平分半径OC,交OC于P点,已知PA、PB的长分别为方程的两根,则此圆的直径为()A.B.C.D.⌒⌒⌒6.如图,⊙O的直径Ab垂直于弦CD,垂足为H,点P是AC上一点(点P不与A、C

7、两点重合),连结PC、PD、PA、AD,点E在AP的延长线上,PD与AB交于点F,给出下列四个结论:①CH2=AH·BH;②AD=AC:③AD2=DF·DP;④∠EPC=∠APD,其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.47.如图,BC是半圆的直径,O为圆心,P是BC延长线上一点,PA切半圆于点A,AD⊥BC于点D.(1)若∠B=30°,问AB与AP是否相等?请说明理由;(2)求证:PD·PO=PC·PB;(3)若BD:DC=4:

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