高数2 期末复习题

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1、高等数学上册主讲:陈克东教授教材:同济大学《微积分》上册预备知识（2学时）本预备知识主要介绍函数的概念、性质，复习中学学习过的几类基本初等函数的各种性态，为后面的学习打基础。具体要求如下：1.掌握区间、邻域的概念。2.了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。4.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。5.掌握基本初等函数的性质及其图形。自我介绍提出要求：1．认真听课，按时完成作业；做好笔记，及时复习；培育素质与能力。2．平时成绩占20%，每周一上课之前交作业。3．辅导答疑时间安排

2、。4参考书：有多种，《高等数学》同济第三、四版，《高等数学复习指导》科学出版社，深入一点的《工科数学分析》西安交大。预备知识一．邻域——开区间，以a为中心的邻域，以a为中心的去心邻域二．函数：，，，……定义域，值域，记号之含义，几何意义——……三．分段函数1．称为“分界点”。-23-2．符号函数3．取整函数，[3.1]=3，[-3.1]=-4。一．函数的几种特性1．有界性：设，定义域为D，D，恒有。，在[1，+)，有界；在(0,1)，无界。2．单调性：设，定义域为D，D，当时，单调递增当时，单调递减3．奇偶性：偶函数奇函数4．周期性：D，D，例1．狄里克雷函数。例2．设

3、，分别为定义在(-l,l）上的奇函数，偶函数，证明：在(-l,l)上是奇函数。二．复合函数，例3．将下列函数“分解”成“简单”的函数：，，三．基本初等函数与初等函数……四．双曲函数与反双曲函数，，复习P.1—19，习题（P.19）5，6，7，9，15，18-23-第一章极限与连续（18学时）函数概念是描述函数变化趋势、深入研究函数变化性态的一个最基本的概念。极限理论是微积分学，乃至整个现代数学的一个理论基础，极限方法是高等数学中最重要的一种思想方法，可以发现，极限理论如一条红线贯穿于整个微积分的全过程。本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性

4、质以及运算法则。同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念――连续，和连续函数的若干重要性质。具体的要求如下：1．理解极限的概念（对极限的、定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高要求）。2．掌握极限四则运算法则。3．了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。4．了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。5.理解函数在一点连续的概念。6.了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。7.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理、零点定理和最大、最小值定理）。§1-1微积分中的极限方法

5、问题1.面积问题——曲边三角形1y=x21/n-23-==问题2.瞬时速度问题=路程/时间==§1-2数列极限的定义数列{}实质上是整标函数，正整数集N*（i）：1，，，…，，…0（ii）：2，，，…，1+，…1确定：要使<0.01，只要>100；要使<0.0001，只要>10000；要使<，只要>[]。（iii）：1，-1，1，…，，…不存在定义：（）如果存在常数，使得对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正整数N，只要n>N，绝对值不等式<恒成立，则将数列{}以常数为极限，记为=（或，）。-23-数列极限的分析定义：设，，，当时，恒成立，则将数列{}以常数为极限

6、，记为=（或，）。例1．证明数列2，，，，…，，…的极限是1。证：[分析]令=，记a=1，要使===<，只要>，取N=。[证明]，，当n>N时，恒有，故=1。例2．若，证明：。证：[分析]==<<，要使<，只要，取N=，再放大[证明]当n>N时，恒成立，故。例3．设，证明数列：1，，，…，，…的极限是0。证：[分析]令，记a=0，由于==，要使-23-，只要，只要，只要，只要，取N=。[证明]，，当n>N时，恒有，故=0（当时）。例1．数列{}有界，又，证明=0。证：，对一切n均有，又，对于，，当n>N时，恒有，，所以=0。复习P.22~32，习题1-2（P.32）1，

7、2，5。§1-3函数极限的定义一、函数在有限点处的极限引例：，当时，，时，研究：在点的某个去心邻域内有定义，当时，定义：如果存在常数a，使得对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，当时，恒成立，记。-23-，，当时，恒成立。例1．证明下列极限：（1）；（2）；（3）。证：（1）[分析]这里，恒成立[证明]，任取一个正数，当时，恒成立，证之。（2）[分析]由于，只要，取[证明]，，当时，恒成立，故（3）[分析]由于，要使，只要，只要，即，取[证明]，，当，恒成立，故例2．证明。证：[分析]，，由于===要使，只要，即，只要，取-23