24.1.4《圆周角》

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1、圆周角回忆1.什么叫圆心角?.OAB顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论,这个结论是什么?在同圆(或等圆)中,如果圆心角、弧、弦有一组量相等,那么它们所对应的其余两个量都分别相等。探究.OA问题:将圆心角顶点向上移,直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征?C顶点在圆上两边都与圆相交这样的角叫圆周角。B问题探讨:判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角?并说明理由。PPPP不是是不是不是顶点不在圆上。顶点在圆上,两边和圆相交。两边不和圆相交。有一边和圆不相交。观察思考:在这个海洋馆里,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物.问题探讨:

2、问题1如图:同学甲站在圆心O的位置,同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?用量角器量一下,有什么发现?问题解决:你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗?你能证明你的发现(即同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半)吗?ABCOABCOABCO分析论证1.首先考虑一种特殊情况:当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.ABCO∵OA=OC∴∠A=∠C又∠BOC=∠A+∠C∴∠BOC=2∠A即∠A=∠BOC分析论证你能证明第2种情况吗?ABCOD提示:作射线AO交⊙O于D。转化为第1

3、种情况证明:由第1种情况得即∠BAC=∠BOC∠BAD=∠BOD∠CAD=∠COD∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD分析论证你能证明第3种情况吗?证明:作射线AO交⊙O于D。由第1种情况得即∠BAC=∠BOC∠BAD=∠BOD∠CAD=∠COD∠CAD-∠BAD=∠COD-∠BODABCOD问题解决:综上所述:我们得到:同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半ABCOABCOABCO即∠BAC=∠BOC圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。练习:如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成

4、8个角,这些角中哪些是相等的角?D12345678ABC∠1=∠4∠2=∠7∠3=∠6∠5=∠8解:问题1:如图,AB是⊙O的直径,请问:∠C1、∠C2、∠C3的度数是。ABOC1C2C3推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径,弧是半圆。问题2:若∠C1、∠C2、∠C3是直角,那么∠AOB是。90°180°探究与思考:练一练1、如图,在⊙O中,∠ABC=50°,则∠AOC等于()A、50°;B、80°;C、90°;D、100°ACBOD2、如图,△ABC是等边三角形,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于()A、30°;B、60

5、°;C、90°;D、45°CABPB练一练3、如图,∠A=50°,∠ACD=60°BD是⊙O的直径,则∠AED等于()A、70°;B、110°;C、90°;D、120°B4、如图,△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上,∠C=30°,AB=2,则⊙O的半径是。ACBODECABO2练一练5、如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O于点F,点F不与点A重合。(1)AB与AC的大小有什么关系?为什么?(2)按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪一类三角形,并说明理由。ACBDF·O∴△ABC是锐角三角形证明:(1)AB=AC。连接AD又∵DC

6、=BD,∴AD是⊿ABC的中垂线∴AB=AC。(2)△ABC是锐角三角形。由(1)知,∠B=∠C<90°连接BF,则∠AFB=90°,∴∠A<90°∵AB是直径,∴∠ADB=90°,再见!

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