菱形证明专题训练

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1、--绝密★启用前乐学教育菱形证明专题训练1.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证:四边形ABCD为菱形. 【答案】∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠DCF. ∵DF∥BE, ∴∠BEF=∠DFE, ∴∠AEB=∠CFD. 又∵AE=CF, ∴△AEB≌∠CFD, ∴AB=CD. ∵AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AC平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAF. 又∠BAE=∠DCF, ∴∠DAF=∠DCF,---- ∴AD=CD, ∴四边形ABCD是菱形.2.如图,矩形

2、ABCD中,点O为AC的中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC.  求证:(1)四边形EBFD是菱形;【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCD的对角线AC的中点, ∴B,D, O三点共线且BD=DO=CO=AO. 在矩形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,∴∠FCO=∠EAO. 在△CFO和△AEO中, ∴△CFO≌△AEO,∴FO=EO. 又∵BO=DO,∴四边形BEFD是平行四边形. ∵BO=CO,∠COB=60°, ∴△COB是等边三角形.∴∠OCB=60°. ∴∠FCO=∠

3、DCB-∠OCB=30°. ∵FO=FC,∴∠FOC=∠FCO=30°.---- ∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°. ∴EF⊥BD.∴平行四边形EBFD是菱形.(2)MB∶OE=3∶2.【答案】∵BO=BC,∴点B在线段OC的垂直平分线上.  ∵FO=FC,∴点F在线段OC的垂直平分线上.  ∴BF是线段OC的垂直平分线.   ∴∠FMO=∠OMB=90°. ∴∠OBM=30°.∴OF=BF. ∵∠FOC=30°,∴FM=OF. ∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF. 即FO=EO,∴BM∶OE=3∶2.3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,B

4、D为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:----四边形BGFD是菱形. 【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形. ∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴BD=DF=AC, ∴平行四边形BGFD是菱形.4.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE. 求证:OE=BC. 【答案】∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形,

5、 ∴AC⊥BD,OB=OD, ∴∠BOC=∠COD=90°, ∴四边形OCED是矩形,---- ∴∠ODE=90°,∵OB=OD,∠BOC=∠ODE=90°, ∴BC=,OE=, ∵DE=OC. ∴OE=BC.5.[2015·兰州中考,25] (9分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC. (1)求证:AD=BC;【答案】作BM∥AC,BM交DC的延长线于点M,则∠ACD=∠BMD.  1分  ∵AB∥CD,BM∥AC, ∴四边形ABMC为平行四边形.  2分 ∴AC=BM. ∵BD=AC,∴BM=BD. ∴∠BDM=∠BMD. ∴∠

6、BDC=∠ACD.---- 在△BDC和△ACD中,  ∴△BDC≌△ACD.  4分 ∴BC=AD.  5分(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.【答案】连接EG,GF,FH,HE.  6分 ∵E,H为AB,BD的中点,∴EH=AD. 同理FG=AD,EG=BC,FH=BC. ∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH.  8分 ∴四边形EGFH为菱形, ∴EF与GH互相垂直平分.  9分6.[2015·长春中考,18] (7分)如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥

7、AC交CD于点G,求证:四边形ACGF是菱形. ----【答案】因为AF∥CD,FG∥AC, 所以四边形ACGF是平行四边形①, 又因为∠ACE=∠ECG,∠ECG=∠AFC, 所以∠ACE=∠AFC,所以AC=AF②, 由①②得四边形ACGF是菱形.7.[2010·上海中考,23]已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD(如图所示),∠BAD的平分线AE交BC于点E,连结DE. (1)在图中,用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹,不写作法),并证明四边形ABED是菱形;【答案】  ∵∠BAE=∠DAE, ∠DAE=∠BEA, ∴∠BAE=∠BEA

8、,AB=BE=AD,---- AD∥BE,∴四边形ABED的平行四

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