《2.1.2椭圆的几何性质》教学案1

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1、《2.1.2椭圆的几何性质》教学案教学目标:(1)通过对椭圆标准方程的讨论，理解并掌握椭圆的几何性质；(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点､顶点坐标､离心率并能根据其性质画图；(3)培养学生分析问题､解决问题的能力，并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.教学重点:椭圆的几何性质.通过几何性质求椭圆方程并画图教学难点:椭圆离心率的概念的理解.教学方法:一､复习:1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程.二､讲授新课:(一)通过提出问题､分析问题､解决问题激发学生的学习兴趣，在掌握新知识的同时培养能力.[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几

2、何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.]已知椭圆的标准方程为:1.范围[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x，y的范围就知道了.]问题1方程中x､y的取值范围是什么？由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x，y)都适合不等式≤1，≤1即x2≤a2，y2≤b2所以

3、x

4、≤a，

5、y

6、≤b即-a≤x≤a，-b≤y≤b这说明椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里.2.对称性复习关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标之间的关系:点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于

7、y轴对称的点的坐标为(-x，y)；点(x，y)关于原点对称的点的坐标为(-x，-y)；问题2在椭圆的标准方程中①以-y代y②以-x代x③同时以-x代x､以-y代y，你有什么发现？(1)在曲线的方程里，如果以-y代y方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，它关于x的轴对称点P’(x，-y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称.(2)如果以-x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于y轴对称.](3)如果同时以-x代x､以-y代y，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？[曲线关于原点对称.]归纳提问:从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性？椭圆关

8、于x轴，y轴和原点都是对称的.这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴]椭圆的对称中心是什么？[原点]椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.顶点[研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴，y轴的交点坐标.]问题3怎样求曲线与x轴､y轴的交点？在椭圆的标准方程里，令x=0，得y=±b.这说明了B1(0，-b)，B2(0，b)是椭圆与y轴的两个交点.令y=0，得x=±a.这说明了A1(-a，0)，A2(a，0)是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做

9、椭圆的顶点.线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长

10、A1A2

11、=2a，

12、B1B2

13、=2b(a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即

14、B1F1

15、=

16、B1F2

17、=

18、B2F1

19、=

20、B2F2

21、=a在Rt△OB2F2中，由勾股定理有

22、OF2

23、2=

24、B2F2

25、2-

26、OB2

27、2，即c2=a2-b2这就是在前面一节里，我们令a2-c2=b2的几何意义.4.离心率定义:椭圆的焦距与长轴长的比e=，叫做椭圆的离心率.因为a>c>0，所以0

28、e变化时，椭圆形状是怎样随之变化的？[调用几何画板，演示离心率变化(分越接近1和越接近0两种情况讨论)对椭圆形状的影响]得出结论:(1)e越接近1时，则c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁；(2)e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆.当e=1时，图形变成了一条线段.[为什么？留给学生课后思考]5.例题例1、求椭圆4x2+9y2=36的长长轴和短轴长、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形.解：把方程化为标准方程:可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a=3，短

29、半轴长b=2；又得焦半距所以，椭圆的长轴长2a=6，短轴长2b=4；两个焦点坐标分别为四个顶点坐标为(-3，0)，(3，0)，(0，2)，(0，-2).为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为由可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内的一些点的坐标(x，y)，列表如下：x00.511.522.5 3y21.971.891.731.49 1.110描点再光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限的图形，然后利用椭圆的对称性画出整个椭圆，如图所示例2在我国某卫星发射基地升空的“探测一号”赤道星，运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，其近地点与地球表面相距555km，远

30、地点与地球表面相距74051km.已知地球半径约为6371km，求