中学数学研究-陕070815从切线概念的理解到数学课堂教学

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1、资料编号14350导数导数的几何意义张良强发表在陕070815上属于教法、辅导、教材题为《从切线概念的理解到数学课堂教学》文[1]就切线概念的理解及一个“常见”的误区提出了自己的观点,并且就切线问题的实际来源给出了正确的解释.对于文[2]产生的错误，文[1]仅就事论事地评析了错误产生的原因，没有从切线概念的理解及曲线切线的求解与数学课堂的教学的角度去剖析当前的数学课堂教学现状及教师队伍素质分析.本文以切线概念的理解为平台，反思平时的课堂教学，力图让数学课堂教学尽善尽美.1曲线切线的概念理解平面曲线的切线在学生心目中经历了三个历程：①初中对圆的切线的认识是与圆

2、有一个交点的直线叫圆的切线；②圆锥曲线的切线方程是由A=0解出的，而不能只提仅有一个交点；③导数的几何意义就是曲线上点的切线的斜率.这些数学情境是课堂教学中通过大量的类题训练使学生心中建立起来的切线认识,而这些理解有何不同，能否统一起来？文[1]提及几种理解，都从侧面说明了切线的理解错综复杂，这种理解反映在数学课堂教学中，呈现为三种形态.(1)三类切线分开理解分开求.圆的切线依据初中理解，要以几何法看圆心到直线的距离d与圆的半径r的相等关系，或者联立直线与圆的方程消元用D=0判断；圆锥曲线的切线方程只能联立方程用D=0来解决；函数在某点处的切线通过求导实现.

3、(2)三类切线两种理解多种求法.圆及圆锥曲线都归结于图形(非函数图象类），统一用D=0来解决，仅圆因其特殊性可以通过圆心到直线的距离和半径相等来对待；函数类图象上某点的切线通过求导解决.这种不同求法意识决定对两类切线的不同理解——圆或圆锥曲线上所有点必居于切线同侧，函数图象上某点的切线不能把函数图象分至某一侧，文作为定义的一种描述，就是要揭示概念的本质特征，“割线的极限”作为平面曲线的切线定义，所反映的对象应该指一切的平面曲线，理所当然包括圆、圆锥曲线以及函数的图象.2数学课堂教学反思文[2]的错误并非偶然，而是当前高中数学教师对切线认识的一个普遍反映，造成

4、这种现象的原因是多方面的.我们反思一下我们的数学教学，集中起来有以下两点：(1)教学过程中没有仔细分析教材，没有真正领会教材的编排体系及编写思想，没有贯彻有效教学理念，没有反省自己的课堂教学行为.教材对于平面曲线的切线说明，如前所言，经历了三个过程:①初中定义圆的切线方程；②求圆锥曲线的切线方程；③通过曲线的切线引人导数的定义，再反过来通过导数求曲线的切线.这三个过程的编排体系是一种由浅人深，由低到髙，由简单到复杂的循序渐进的过程,是一个有机的整体，在学生的思维体系经历①②两种认识的洗礼后，回归到最本质的理解——第3种认识：割线的极限.但这种认识如果不经过思

5、维层次的过渡，我们就极有可能犯错——把这三种认识分割开来，大多数教师就是因为对切线概念的理解没有整合三种认识从而步入了曲线切线的求解误区.笔者曾经听过一次公开课“曲线的切线”,教师约花了近十分钟的时间讲圆的切线与曲线切线的区别，一再强调曲线的切线概念不是圆的切线定义的一种推广.还重提“曲线的方程”与“方程的曲线”的定义，去区别曲线与函数的图象，最后归结一句话“这里讲的曲线的切线一般指函数在某处的切线应该说教师在备课时花了很多心血来准备这堂课，联想到曲线方程与函数解析式的区别，并把教参上“圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线推广为一般曲线的切线……显然，这种推

6、广是不妥当的”[4]这段话领悟得很透彻.显然，这里犯了几个常识性错误：①课本所提曲线的切线不能特指函数的切线，应该是所有平面曲线的切线;②错误领会教参的描述.教参只是一种参考，只想说明不能把圆的切线推广至一般曲线的切线，并没有说一般曲线的切线定义不包括圆的切线.显然，这样的教学不是有效的，没有真正分析教材隐含的本质特征，没有真正有效地组织课堂教学.(2)高考题对教学的导向作用没有引起教师的重视，教师平时课堂教学对高考题研究不深，贯彻不够，理解欠妥.严格地讲，平面曲线的切线一定得包含圆的切线，因为圆是重要的平面曲线，但如果把圆的切线与平面曲线的切线同等看待，就

7、会产生文[2]作者的理解误区——导数法所求直线方程不是切线.实际上，高考制度本身我们不想去评价，但作为检阅平时课堂教学的最后门榲我们必须重视，这种重视折射到平时的教学中就应该是分析高考题型，整合高考考点，贯彻高考的精神思想，再回来指导平时教学——单就解题能力的培养而言，教学是应该以高考为中心的.但我们平时的教学有可能没有真正去领会教材本身的知识思想，在某些知识环节的处理上没有做深入的研究和反思，甚至不懂装懂或似懂非懂就想当然地处理教材，这种心理或现象说轻一些是教师的个人能力问题，说重一些是教师的职业道德问题.教师最终是要被自己的学生所超越，这也是教师的愿望—

8、—青出于蓝而胜于蓝.问题是，出色的学生必须先有出色的