5.10解斜三角形及应用举例(二）

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1、解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。应用举例(二）yyyy年M月d日星期黄冈中学网校达州分校正弦定理：余弦定理：三角形边与角的关系：2大角对大边，小角对小边。一、复习引入：黄冈中学网校达州分校斜三角形的解法已知条件定理选用一般解法用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180˚，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理由A+B+C=180˚,求出另一角，再用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180˚得出第三角。用余弦定理求出两

2、角，再由A+B+C=180˚得出第三角。一边和两角(ASA或AAS)两边和夹角(SAS)三边(SSS)两边和其中一边的对角(SSA)黄冈中学网校达州分校二、例题解析：例1如图，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，试求AB的长.分析：如图所示：对于AB求解，可以在△ABC中或者是△ABD中求解，若在△ABC中，由∠ACB＝α－β，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解.而AC可在△ACD内利用正弦定理求解，BC可在△BCD内由正弦定理求解.黄冈中学网校达州分校解：在△ACD中，已知CD＝a，∠AC

3、D＝α，∠ADC＝δ，由正弦定理得AC＝在△BCD中，由正弦定理得BC＝在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝α－β，所以用余弦定理,就可以求得AB＝黄冈中学网校达州分校例2据气象台预报，距S岛300ｋｍ的A处有一台风中心形成，并以每小时30ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270ｋｍ以内的地区将受到台风的影响.问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB≤27O这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中

4、心经过ｔ小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB.黄冈中学网校达州分校解：设台风中心经过ｔ小时到达B点，由题意，∠SAB＝9O°－3O°＝6O°在△SAB中，SA＝3OO，AB＝3Oｔ，∠SAB＝6O°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cosSAB＝3OO2＋（3Oｔ）2－2·3OO·3Otcos6O°若S岛受到台风影响，则应满足条件｜SB｜≤27O即SB2≤27O2化简整理得ｔ2－1Oｔ＋19≤O≤ｔ≤5＋解之得5－黄冈中学网校达州分校所以从现在起，经过5－小时S岛开始受到影响，(5＋)小时后影响结束.持续时间：(5＋)－（5－）＝2小时

5、.答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2小时.黄冈中学网校达州分校例3如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.分析：要求四边形OPDC面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P在半圆上运动与∠POB大小变化之间的联系，自然引入∠POB＝θ作为自变量建立函数关系.四边形OPDC可以分成△OPC与等边△PDC，Ｓ△OPC可用·OP·OC·sinθ表示，而等边△PDC的面积关键在

6、于边长求解，而边长PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决.黄冈中学网校达州分校解：设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ＝2sin(θ－∴当θ－即θ＝时，ｙmax＝2＋.∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝(5－4cosθ)评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性.另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin（α

7、＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应予以重视.黄冈中学网校达州分校A35º25º12mCBD1、某校的主教学楼楼高AB，某位同学在与教学楼底部同一水平线上的C处测得教学楼顶部A的仰角为25º，再向教学楼前进12米到D处后，测得教学楼A的仰角为35º，他能否算出教学楼的高度呢？练习：黄冈中学网校达州分校解：35º25ºCBDA12m黄冈中学网校达州分校2.在A.B两点之间有一座小山和一条小河，为了求两点之间的距