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1、第10讲谐变势的多极展开及电偶极辐射场第二章电磁场的标势、矢势和电磁辐射(5)§2.5谐变势的多极展开及电偶极辐射场§2.5.1谐变势的多极展开电磁波是从交变运动的电荷系统辐射出来的。在宏观情形电磁波由载有交变电流的天线辐射出来；在微观情形，变速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。本节先研究宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。1.计算辐射场的一般公式当交变电流分布给定时,计算辐射场的基础是推迟势公式（3.1）若电流J是一定频率的交变电流,有（3.2）代入（3.1）式中得（3.3）式中k=ω/c为波数.令有（3.4
2、)在（3.3)和（3.4)式中,因子eikr是推迟作用因子,它表示电磁波传至场点时有相位滞后kr。电荷密度ρ与电流密度J由电荷守恒定律相连系，在一定频率的交变电流情形中有（3.5）由此,只要电流密度J给定,则电荷密度ρ也自然确定。由（2.12)式,标势φ也跟着确定.因此,在这情形下,由矢势A的公式（3.4)就可以完全确定电磁场.磁场B可直接由A求出,（3.6)算出B后,电场E可由麦克斯韦方程求出.在电荷分布区外面,J=0,由真空中的麦克斯韦方程得（3.7)2.矢势的展开式在矢势公式（3.4)中,我们注意到存在三个线度:电
3、荷分布区域的线度l，它决定积分区内
4、x'
5、的大小;波长λ=2π/k以及电荷到场点的距离r。在本节中我们研究分布于一个小区域内的电流所产生的辐射.所谓小区域是指它的线度l远小于波长λ以及观察距离r，即（3.8）至于r和λ的关系，可以区别三种情况（1）近区r<<λ,（2）感应区r~λ,（3）远区（辐射区）r>>λ。三个区域内场的特点是不同的。在近区内，kr<<1，推迟因子~1，因而场保持恒定场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，即电场具有静电场的纵向形式，磁场也和恒定场相似。在远区内，电磁场变为横向的辐射场。感应区是一个
6、过度区域。实际上，通常是在离发射系统远处接收电磁波的，对这类问题需要计算远场，由远场可定出辐射功率和角分布（方向性）。但是，如果要研究场对电荷系统的反作用（辐射阻抗）以及几个靠近的发射系统之间的相互影响时，必须计算近场和感应场。我们在这里主要讨论远区的场。选坐标原点在电荷分布区域内，则
7、x'
8、的数量级为l。以R表示由原点到场点x的距（R=
9、x
10、），r为由原点x'到x的距离。有（3.9）n为沿R方向的单位矢量．由条件（3.8）式，可以把A对小参数x'/R和x'/λ展开．在计算远场时，只保留1/R的最低次项，而对x'/λ的展
11、开则保留各级项．把（3.9)式代如（3.4)式得（3.10）由于我们只保留1/R的最低次项，所以在分母中可略去−n∙x'项,但是相因子中的−n∙x'不应略去,这是因为这项贡献一个项因子所以这里涉及的是小参数x'/λ而不是x'/R相位差2πn∙x'/λ一般是不能忽略的，所以在相因子展开式中我们保留x'/λ的各级项。把（3.10)式中的相因子对kn∙x'展开得（3.11）下面我们会看到，展开式中各项对应于各级点磁多级辐射。§2.5.2电偶极辐射场1.电偶极辐射现在我们研究展开式的第一项（3.12）先看电流密度体积分得意义。电
12、流是由运动带电粒子组成的.设单位体积内有ni个带电量为ei，速度为υi的粒子，则它们各自对电流密度的贡献为nieiυi，因此其中求和号表示对各类带电粒子求和。上式也等于对单位体积内所有带电粒子的eυ求和。因此式中求和号表示对区域内所有带电粒子求和。但式中p是电荷系统的电偶极矩。因此（3.13）图5-2表示一个简单的电偶极子系统,它由两个相距为Δl的导体球组成，两导体之间由细导线相连，当导线上有交变电流I时，两导体上的电荷±Q就交替地变化，形成一个振荡电偶极子。这系统的电偶极矩为当导线上有电流I时，Q的变化率为因而体系的电
13、偶极矩变化率为（3.14）与一般公式（3.13）相符.由此可见,（3.12）式代表振荡电偶极矩产生的辐射（3.15）在计算电磁场时,需要对A作用算符▽。由于我们只保留1/R的最低次项，因而算符▽不需作用到分母的R上，而仅需作用到相因子eikR上，作用结果相当与代换（3.16）由此,（3.17）若取球坐标原点在电荷分布内,并以p方向为极轴,则由上式,B沿纬线上振荡,E沿经线上振荡（图5-3）,有（3.18）磁感应是围绕极轴的圆周,B总是横向的,电场线是经面上的闭合曲线,如图5-4所示.由于在空间中▽∙E=0，E线必须闭合，
14、因此E不可能完全横向，只有在略去1/R高次项后，E才近似为横向。因此电偶极辐射是空间中的TM波。在辐射区电磁场~1/R，能流~1/R2,对球面积分后总功率与球半径无关,这就保证电磁能量可以传播到任意远处。2.辐射能流角分布辐射功率在辐射问题的实际应用中,最主要的问题是计算辐射功率和辐射的方向性,这些都可以由平均能流密
