方波信号f(t)展开为傅里叶级数

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1、图4.2方波信号的傅里叶级数例4―1试将图4.2所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。方波信号f(t)展开为傅里叶级数解我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,并按式(4―7)、(4―8)、(4―9)分别计算an,bn及c。例3.3-1试画出f(t)的振幅谱和相位谱。解f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分别为二、三、六次谐波频率。且有振幅谱和相位谱例题其余图3.3-1例3.3-1信号的频谱振幅谱；(b)相位谱图3.3-2例3.3

2、-1信号的双边频谱(a)振幅谱；(b)相位谱例3.4-2求指数函数f(t)的频谱函数。图3.4-2单边指数函数e-αt及其频谱(a)单边指数函数e-αt;(b)e-αt的幅度谱单边指数函数f(t)的频谱函数其振幅频谱及相位频谱分别为解(4―41)(4―40)单边指数信号的频谱例4―4求单边指数信号的频谱。解单边指数信号是指图4.7单边指数信号及其频谱例3.4-3求图3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。偶对称双边指数函数的频谱函数图3.4-3双边指数函数及其频谱(a)双边指数函数；(b)频谱(4―42)从频谱函数的定义式出发(4―43)例4―

3、5求双边指数信号的频谱。解双边指数信号是指偶对称双边指数信号的频谱图4.8双边指数信号及其频谱例3.4-4求图3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。图3.4-4例3.4-4图(a)信号f(t);(b)频谱奇对称双边指数函数的频谱函数(a>0)解图示信号f(t)可表示为例3.4-1图3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为τ，高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。解门函数gτ(t)可表示为门函数的频谱函数图3.4-1门函数及其频谱(a)门函数；(b)门函数的频谱；(c)幅度谱；(d)相位谱图4.6矩形脉冲信号及其频谱

4、矩形脉冲信号gτ(t)的频谱例4―3求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。(4―36)gτ(t)的傅里叶变换为(4―37)(4―38)(4―39)解矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所示的门函数。其定义为例3.4-5求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。图3.4-5信号δ(t)及其频谱(a)单位冲激信号δ(t);(b)δ(t)的频谱δ(t)的频谱函数解可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。显然，信号δ(t)实际上是无法实现的。根据分配函数关于δ(t)的定义，有(4―34)(4―35

5、)冲激信号δ(t)的频谱例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。解由频谱函数的定义式有图4.5冲激信号及其频谱(4―75)移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数例4―12求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数。解由于已知冲激函数δ(t)的频谱函数为1,求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数，此时可利用傅里叶变换的时移特性式(4―74)。例3.4-6求直流信号1的频谱函数。图3.4-6直流信号f(t)及其频谱(a)直流信号f(t);(b)频谱直流信号1的频谱函数解直流信号1可表示为(4―45)(4―46)例4―6求单位直流信号的频谱。解幅度为1的单位直流信号可

6、表示为f(t)=1,-∞

7、的频谱例4―7求符号函数的频谱。解符号函数简记为sgn(t),它的定义为图4.10符号函数及其频谱(其中α>0)(4-51)符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一个特例:例3.4-8求阶跃函数ε(t)的频谱函数。由阶跃函数ε(t)的波形容易得到解从而就可更为方便地求出ε(t)的频谱函数，即阶跃函数ε(t)的频谱函数图3.4-8阶跃函数及其频谱(a)ε(t)的波形；(b)频谱例3.5-1求图3.5-1(a)所示信号的频谱函数。图3.5-1例3.5-1的图(a)f(t)的波形；(b)相位谱门(平移后)信号的频谱函数解例4―11已知求

8、gτ(2t)的频谱函数解根据傅里叶变换的尺度变换性质,gτ(2t)的频谱函数为尺