最短时间和最少燃料控制

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1、第3章最短时间和最少燃料控制本章主要内容：3.1非线性系统的3.2线性时不变系统最短时间控制问题3.3双积分模型的3.4非线性系统的3.5线性时不变系统最少燃料控制问题3.6双积分模型的时间最优控制：导弹以最短时间击毁敌机最少燃料最优控制：航天航空控制（高度、姿态、交会）3.1非线性系统的最短时间控制问题最短时间控制问题的提法：设受控系统状态方程为给定终端约束条件为寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束使系统从已知初始状态转移到目标集中某一状态时，如下目标泛函取极小值，其中未知应用最小值原理，系统的哈

2、密尔顿函数为：在使J最小以实现最优控制的必要条件中，侧重分析极值条件将（3-6）式中的矩阵表达式展开成分量形式则极值条件可写为：由式（3-8）可见，由于是确定的，故使取极小值的最优控制为或简写为：根据是否为零，将系统分为两种情形：（砰-砰控制）平凡最短时间控制系统只是在各个孤立的瞬刻才取零值，是有第一类间断点的分段恒值函数。奇异（非平凡）最短时间控制系统。并不意味着在该区间内最优控制不存在，仅表明，从必要条件不能推出确切关系式。3.2线性时不变系统的最短时间控制问题线性时间最优调节器问题的提法：设受控系统状态方程为给

3、定终端约束条件为寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束使系统从以最短时间从初始状态转移到状态空间原点。根据上一节的结论，可得极值条件为：对于线性时不变系统的最短时间控制问题，经过理论推导和证明，可得如下重要结论：（1）系统平凡的充要条件：当且仅当m个矩阵中全部为非奇异矩阵时，系统是平凡的。（至少有一个为奇异矩阵时，系统是奇异的）（2）系统最优解存在的条件：常数矩阵A的特征值全部具有非正实部。（3）最优解唯一性定理：系统是平凡的且最短时间控制存在，则最短时间控制必然是唯一的。（4）开关次数定理：系统是平

4、凡的且最短时间控制存在，则最优控制u*的任一分量的切换次数最多为n-1次。（n为系统维数）3.3双积分模型的最短时间控制问题双积分模型的物理意义：惯性负载在无阻力环境中运动负载运动方程：传递函数：（由两个积分环节组成）定义u(t)=f(t)/m,则（3-16）式变为：取状态变量则有矩阵形式为：双积分模型最短时间控制问题的提法：已知二阶系统的状态方程为给定端点约束条件为寻求有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束使系统从以最短时间从任意初态转移到终态。先判断该系统是否平凡？由上节重要结论可知：（1）本系统为平凡最

5、短时间控制系统（2）其时间最优控制必然存在且唯一（3）时间最优控制u(t)至多切换一次最优控制表达式：下面利用协态方程求解由式（3-25）可知，为一直线，由于开关次数的限制，其四种可能的开关序列为：下面通过图解法，在相平面上分析相轨迹转移的规律，从而寻找最优控制u*(t)。首先求解状态轨线的方程：为抛物线为开关曲线双积分模型时间最优控制工程实现的闭环结构求解状态转移最短时间t*：(1)式带入（2）式即可解出结果参见P187(5-116)作业：秦寿康教材，第三章习题1，3，4，5，6通过对非线性系统的最短时间控制问题

6、的分析，得到最优控制的一般形式(砰-砰控制）具体到线性时不变系统，得到最短时间控制问题的若干重要结论。（开关次数定理，非平凡判据）将上述结论应用于双积分模型的最短时间控制问题，求解过程为：1)应用最小值原理得出最优控制表达式2)解协态方程，结合开关次数定理，列出最优控制的候选函数序列3)在状态平面上分析状态转移轨线，寻找开关曲线，总结控制规律4)计算状态转移的最短时间最短时间控制问题小结：3.4非线性系统的最少燃料控制问题最少燃料控制问题的提法：设受控系统状态方程为给定端点约束条件为寻求m维有界闭集中的最优控制u*

7、(t)，满足不等式约束使系统从已知初始状态转移到目标集中某一状态时，如下目标泛函取极小值，其中未知应用最小值原理，系统的哈密尔顿函数为：在使J最小以实现最优控制的必要条件中，侧重分析极值条件将（3-29）式中的矩阵表达式展开成分量形式则极值条件可写为：为使（3-30）右端取极小值，应与符号相反，则有再来确定的幅值：三位控制、离合控制平凡最少燃料控制系统奇异（非平凡）最少燃料控制系统。并不意味着在该区间内最优控制不存在，仅表明，利用常规公式无法求解3.5线性时不变系统的最少燃料控制问题线性时间最优调节器问题的提法：设

8、受控系统状态方程为给定终端约束条件为寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束使系统从从初始状态，在给定时间内转移到预定终态，并使如下目标函数取极小值。对于线性时不变系统的最短时间控制问题，经过理论推导和证明，可得如下重要结论：（1）平凡最少燃料控制的充分条件：（至少有一个为零时，系统是奇异的）（2）最优解唯一性定理：系统是平凡的且