1、厦门大学2007至2008学年第二学期高等代数期末考试试题A注意：所有答案请写在答题纸上一 选择题（8题×4分）1．设是n阶对称正定阵，则是___ _。A. 正定阵 B. 半正定阵 C. 负定阵 D. 半负定阵2． 设是n阶非零实对称阵，则是半正定阵的充要条件是___ _。A. 的所有k阶子式非负（） B. 存在n阶非零矩阵，使得C. 对元素全不为零的向量，总有 D. 存在非零向量，使得 3．设是二维行空间中的任意两个向量，则对以___ _为
2、规定的内积构成欧氏空间。A. B. C. D. 4．设是欧氏空间的子空间，分别是的正交补空间，则下列叙述中错误的是____。A. B. C. 若，则 D. 若，则5．设是n阶矩阵，则下列叙述中错误的是___ _。 A. 若是正交阵，则也是正交阵 B. 若是正定阵，则也是正定阵 C. 若是正交阵，则也是正交
3、阵 D. 若是正定阵，则也是正定阵6．设是n阶实对称阵，则下列说法正确的有___ _个。 ①的特征值相同的充要条件是相似 ②的特征值相同的充要条件是正交相似③的特征值相同的充要条件是合同 ④的特征值相同的充要条件是相抵 A.1 B. 2 C.3 D.47．设是n阶实对称阵，则满足___ _时，必相似。A. ，其中分别为的极小多项式B. ，其中分别为的特征多项式C. ，且
6、(8分)设是n阶实对称阵，其特征值为证明：对任意的n维列向量，均成立。五 (10分)设为n维欧氏空间V的一组基。证明：这组基础是V的标准正交基的充要条件是对V中任一向量，都有。六 (10分)设是n阶实矩阵。证明：的特征值全为实数的充要条件是存在正交阵，使得为上三角阵。附加题：（不计入总分） 设是n阶实对称阵，正定，半正定。证明：1） 若，则；2） 。参考答案一 选择题（8题×4分）1．设是n阶对称正定阵，则是___ _。BA. 正定阵 B. 半正定阵 C. 负定阵
7、 D. 半负定阵2． 设是n阶非零实对称阵，则是半正定阵的充要条件是___ _。BA. 的所有k阶子式非负（） B. 存在n阶非零矩阵，使得C. 对元素全不为零的向量，总有 D. 存在非零向量，使得 3．设是二维行空间中的任意两个向量，则对以___ _为规定的内积构成欧氏空间。CA. B. C. D. 4．设是欧氏空间的子空间，分别是的正交补空间，则下列叙述中错误的是___
