《2.3.2 数学归纳法应用举例》课件3

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1、《2.3.2数学归纳法应用举例》课件3教学目标了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。教学重点：了解数学归纳法的原理一、归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。归纳法｛完全归纳法不完全归纳法由特殊一般特点:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3d……an=a1+(n-1)d如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)二、数学归纳法的概念证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0

2、(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。所以n=k+1时结论也成立那么求证注意1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用

3、的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。②假设n=k(k∈N,k≥1)时等式成立,即：1+3+5+……+(2k-1)=k2，当n=k+1时：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以当n=k+1时等式也成立。由①和②可知，对n∈N，原等式都成立。例、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2（n∈N）.请问：第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+

4、5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?为什么？例:用数学归纳法证明注意1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明例、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边

5、，等式成立。②假设当n=k((k∈N）时有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1),当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•[2(k+1)-1]=右边，∴当n=k+1时等式也成立。由①、②可知，对一切n∈N,原等式均成立。作业:证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值

6、n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。注意1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明回顾例:已知数列计算,根据计算的结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明.例

7、:是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:(2)假设当n=k时结论正确,即:则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.例:比较2n与n2(n∈N*)的大小注：先猜想，再证明解：当n=1时，2n=2,n2=1,2n>n2当n=2时，2n=4,n

8、2=4,2n=n2当n=3时，2n=8,n2=9,2nn2当n=6时，2n=64,n2=36,2n>n2猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.说明:用数学归纳法证明几何问题,重难