双曲线的简单几何性质1

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1、双曲线的简单几何性质双曲线的定义点p到两定点F1F2的距离之差的绝对值为常数（小于F1F2的距离）点p的轨迹XY0F1F2pYXF1F2A1A2B1B2双曲线图像(1)双曲线的简单几何性质标准方程范围对称性顶点焦点对称轴离心率渐近线0双曲线的范围根据双曲线的标准方程可得：即，所以x≥a,x≤-a这说明双曲线在不等式x≥a,x≤-a所表示的区域内,即在直线x=-a,x=a两侧.当x的绝对值无限增大时，y的绝对值也无限增大,所以曲线是无限伸展的,不像椭圆那样是封闭曲线.双曲线的对称性:双曲线关于每个坐标

2、轴和原点都是对称的.坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.双曲线的顶点:在双曲线的标准方程中，令y=0得x=±a,因此把A1（-a，0）,A2（a，0）叫做双曲线的顶点.如图:线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长.线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长.双曲线的渐近线想一想：怎样较为准确的画出169x-y=122的图象？YX-44-330猜想：√432-42=43±±√y=x1-()xx42y=

3、±43xy=43xy=-43x432-42±√y=xYXF1F2A1A2B1B20MN第一象限的曲线方程c：直线方程：y=abxy=√xab2-a2(x＞a)C:设M（x,y)是c上一点,y=abxN(x,Y)是直线..上一点。y=abx±.Q双曲线的渐近线是MN=Y-y=ab(x-√x–a22)x+√x–a22ab=YXF1F2A1A2B1B20MN...Q(x-√x–a22)=ab(x-√x–a22).(x+√x–a22)(x+√x–a22)>0x+√x–a22ab双曲线的离心率:双曲线的焦距与

4、实轴长的比,叫做双曲线的离心率.因为c>a>0,所以e>1.由c-a=b222c-a22ab=√a22=√ac-1=√e-12YXF1F2A1A2B1B20ab=√e-12e越小（接近1）双曲线开口越小（褊狭）ab越接近0e越大ab双曲线开口越大（开阔）越大双曲线图像与性质(1)标准方程范围对称性顶点焦点对称轴离心率渐近线12222=-byaxx≥a或x≤-a关于x轴，y轴，原点对称。A1（-a，0),A2（a，0）实轴A1A2虚轴B1B2F1(-c,0),F2(c,0)ace=YXF1F2

5、A1A2B1B20y=abx±双曲线图像(2)标准方程范围对称性顶点焦点对称轴离心率渐近线XYF1F2OB1B2A2A1双曲线图像与性质(2)标准方程范围对称性顶点焦点对称轴离心率渐近线y≥a或y≤-a关于x轴，y轴，原点对称。B1（0,-a),B2（0，a）实轴B1B2虚轴A1A2F1(0,-c),F2(0,c)ace=y=bax±12222=-axbyXYF1F2OB1B2A2A1上述两种双曲线性质对比标准方程范围对称性顶点焦点对称轴离心率渐近线12222=-byaxx≥a或x≤-a关于x轴，y

6、轴，原点对称。A1（-a，0),A2（a，0）实轴A1A2虚轴B1B2F1(-c,0),F2(c,0)ace=y=abx±12222=-axbyy≥a或y≤-a关于x轴，y轴，原点对称。B1（0,-a),B2（0，a）F1(0,-c),F2(0,c)实轴B1B2虚轴A1A2ace=y=bax±例题讲解例题1:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:1441692

7、2=-xy1342222=-xy53422=+45==ace1.求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长,(1)(2)焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线的方程.课堂练习方程图象实半轴长虚半轴长焦点坐标顶点坐标离心率渐近线方程2.求顶点在x轴上,两顶点间的距离为8,离心率e=5/4的双曲线的标准方程.解：由2a=8,e=5/4可得a=4b=3c=5因为双曲线的顶点在x轴上，所以它的焦点也在x轴上，所以它的标准方程为：练习：已知双曲线的两条渐进线方程是焦点坐标是求此双曲线的方程例2、双曲线型自然通风塔的外形，是

8、双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).A′A0xC′CB′By131225例题讲解