D35高阶导数与高阶微分

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1、§3.53.5.1高阶导数与高阶微分的概念机动目录上页下页返回结束高阶导数与高阶微分第3章3.5.2高阶导数与高阶微分的运算法则3.5.1高阶导数与高阶微分的概念其瞬时为速度为：即其加速度为：即引例：变速直线运动方程为：机动目录上页下页返回结束1.高阶导数若函数的导数仍可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作：的依次类推,各阶导数分别记作：则称机动目录上页下页返回结束导数为函数或定义：函数的二阶以及二阶以上的各阶导数统称为高阶导数。2.高阶微分若函数的微分仍可微,或即或类似地,二阶微分的微分称为

2、三阶微分,阶微分的微分称为n阶微分,或的二阶微分,记作：依次类推,函数的各阶微分分别记作：则称机动目录上页下页返回结束为函数定义：函数的二阶以及二阶以上的各阶微分统称为高阶微分。设求解:依次类推：例1.思考:设问特别地：机动目录上页下页返回结束显然：例2.设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例3.设求机动目录上页下页返回结束例4.设求解:一般地,类似可得：机动目录上页下页返回结束例5.设解:机动目录上页下页返回结束例6.设求使收敛的最高分析:但是发散。2又阶数机动目录上页下页返回结束3.5.2高阶导数的运算法则都是n阶可导的,则(C为常数)莱布

3、尼兹(Leibniz)公式推导目录上页下页返回结束设函数用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.机动目录上页下页返回结束例7.求解:设则代入莱布尼兹公式,得机动目录上页下页返回结束例8.设求解:即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由得机动目录上页下页返回结束内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,机动目录上页下页返回结束思考与练习1.如何求下列函数的n阶导数?解:解:机动目录上页下页返回结束(3)提示:令原式原式机动目录上页下页返回结束解:机动目录上页下页返回结束2.(填空题

4、)(1)设则提示:各项均含因子(x–2)(2)已知任意阶可导,且时提示:则当机动目录上页下页返回结束3.试从导出解：同样可求(见P101题4)作业P1011(9),(12);3;4(2);8(2),(3);9(2),(3)第四节目录上页下页返回结束解:设求其中f二阶可导.备用题机动目录上页下页返回结束