2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第05讲子集

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1、第5讲子集本讲内容有子集、子集的个数、集合的划分及子集的应用。设表示任意元素，表示两个集合。若，则，即集合是集合的子集。规定空集是任何集合的子集。子集是由原集合中的部分元素构成。对于由个元素组成的集合，它的每一个子集中元素的构成，都是对这个元素进行选择的结果。由于对每一个元素的选择都有两种可能（选上或不选），因此，对这个元素共有种不同选择结果，即由个元素组成的集合共有个不同子集。其中，不同的非空子集有个，不同的真子集有个。A类例题例1求集合的子集的个数。分析欲求集合的子集的个数，可先求出集合的元素的个数。解由，得。当时，原方程的解集为空集；当时，原方程的解集为单元素集；当时

2、，原方程有两个不等的实数解。所以，当时，集合，有1个子集；当时，集合，有2个子集；当时，集合，有4个子集‘例2求满足的集合的个数。分析本题要求的是集合中，必定含有元素的子集的个数，只要求出集合的子集数。解由集合的子集数为，得所求集合的个数为8。例3已知集合，对，定义为中所有元素之和。求全体的总和。分析要求出全体的总和，只要求出每个元素出现的次数。解由集合元素的互异性，得集合中某个元素在总合中出现的次数，就是集合中含有该元素的子集数。所以，全体的总和。[来源:学科网ZXXK]情景再现1．设集合，。求集合的子集的个数。2．若数集，则的值是_____。（1998年第九届“希望杯”

3、高一）3．设非空集合，且当时，必有，问：这样的共有多少个？B类例题例4在某次竞选中，各个政党共作出种不同的诺言，任何两个政党都至少有一种公共诺言，但没有两党作出完全相同的诺言。试证明，政党的数目不多于个。（1972年加拿大数学竞赛）分析这是一道有实际背景的问题。首先应选择适当的数学模型刻画这一问题。由题意，将“诺言”作为元素，运用集合进行分析和研究。证明将种不同的诺言构成集合，则每一个政党所作的诺言构成的集合是集合的子集。因而政党数应不大于集合的子集数。又任何两个政党都至少有一种公共诺言，所以任何两个政党所对应的子集不可能是一对互补的子集。故政党数。例5证明：任意一个有限集

4、的全部子集可以这样排列顺序，使得任何两个相邻的子集仅相差一个元素。（1972年波兰数学奥林匹克）分析本题可采用构造方法进行证明，即对任意一个有限集的全部子集给出一个排列方法，满足题设的要求。为此，可从特殊情况入手进行探索。[来源:学科网]若有限集元素的个数时，子集数为2，可排列为；当时，子集数为22，可排列为；当时，子集数为23，可排列为每增加1个元素，子集数增加1倍。将原来已排列好的所有子集分别增加一个新元素，得到又一列排列好的子集。再将排列好的子集倒序后，接排在原来已排好的子集列后面，得到符合条件的新的子集列。证明设有限集的元素个数为。当时，子集数为2，全部子集可排列为

5、:；当时，子集数为22，全部子集可排列为:；当时，子集数为23，全部子集可排列为:若时，子集数为2k，全部子集可排列为:,且任何两个相邻的子集仅相差一个元素。当即增加一个元素时，按下面的方法可得由个元素组成的有限集的全部子集的一个排列，。因为共2k个子集中任何两个相邻的子集仅相差一个元素，所以，共2k个子集中任何两个相邻的子集也仅相差一个元素。又与也相差一个元素，因此，上述由个元素组成的有限集的全部子集的一个排列是符合条件的排列。由此，我们得到对任意一个有限集的全部子集的符合条件的排列方法，即原命题得证。例6设，且当时，。求的最大值。（1995年全国高中数学联赛）分析由题意

6、，与不能同属于集合。按照集合的这一本质特征，构造具有最多元素的集合。解由，又与不能同属于集合，得。由，得集合已不可能与集合同为集合的子集。故。设，经检验，是满足条件的集合，且。所以，的最大值为1870。[来源:Z#xx#k.Com]情景再现4．在一次IMO竞赛中，k个领队共使用n种不同语言。如果任何两个领队至少使用一种共同语言，但没有任何两个领队使用的语言完全相同。求证：。5．已知，当时，与视为不同的对，则这样的对的个数有____________个。（1993年全国高中数学联赛）6．设集合是整数集的子集，其中的元素有正整数，也有负整数，且若（允许），则，求证：若，则。C类例

7、题例7对及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”：对每一个子集按照递减的次序重新排列，然后从最大的数开始交替的减或加后继的数（例如，的“交替和”是的“交替和”是5）。对，求所有这些“交替和”的总和。（第1届美国数学邀请赛）分析求所有这些“交替和”的总和的关键，在于每一个数字在“交替和”中出现的次数及符号。解对集合的全部子集分为两类：含元素的子集共有个，不含元素的子集也有个。将含元素的子集与不含元素的子集相对应，得这两个子集的“交替和”恒为。所以，所有这些“交替和”的总和为。当时，“交替和”的总和为。例8已知