《4.2 微积分基本定理》课件 2

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1、1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．利用微积分基本定理求函数的定积分．(重点)2．应用微积分基本定理解决综合问题．(难点)【课标要求】【核心扫描】《4.2微积分基本定理》课件如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即，通常称是f(x)的一个原函数．自学导引1．函数的原函数2．微积分基本定理F′(x)＝f(x)F(x)F(b)－F(a)3．牛顿－莱布尼茨公式的几何意义将区间[a，b]无限细分，逼近，得F(b)－F(a)＝.：被积函数f(x)的原函数唯一存在吗？它们之间有何关系？被积函数f(x)的

2、原函数F(x)的表达式不唯一，可以写成F(x)＋C的形式．其中C为常数，根据导数的运算法则可知：(F(x)＋C)′＝F′(x)＝f(x)．提示名师点睛1．微积分基本定理的理解(2)该定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求积分与求导数互为逆运算，这也是计算定积分的重要方法，是微积分学中最重要的定理．(3)求导数运算与求原函数运算互为逆运算．在微积分基本定理中函数F(x)叫作函数f(x)在区间[a，b]上的一个原函数．因为[F(x)＋C]′＝F′(x)，所以F(x)＋C也是函数f(x)的原函数．(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正

3、值，且等于曲边梯形的面积．(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．2．由微积分基本定理理解定积分的几何意义利用积分性质，求原函数，进行计算即可得出结论．题型一　求简单函数的定积分[思路探索]计算定积分的一般步骤：(1)把被积函数能化简的先化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；(3)分别利用求导公式找到F(x)使得F′(x)＝f(x)；(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值；(5)计算所求定

4、积分的值．利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．解析　由题意知f(1)＝lg1＝0，∴f(0)＝0＋a3－03＝1，∴a＝1.答案1审题指导用微积分基本定理求定积分，求被积函数的原函数是关键，需把握两点：(1)熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；(2)当被积函数较为复杂，不容易找原函数时，可适当变形后再求解．特别地，需注意弄清楚积分变量．题型三　求较复杂函数的定积分【例3】(12分)求下列定积分：

5、【题后反思】求较复杂函数的定积分的方法．(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数．当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数．正弦、余弦函数、指数、对数函数与常数的和或差．(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．根据定积分的定义及微积分基本定理，定积分可分解为多个区间上的定积分的和，所以求分段函数的定积分，根据被积函数定义，先在不同区间上求解，然后根据定积分的运算法则进行计算．方法技巧　被积函数为分段函数的定积分计算方法点评求分段函数的定积分时，可利用积

6、分性质将其表示为几段积分和的形式；对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数再求解.