扰动法非线性晶体生长过程数值模拟研究

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1、http://www.paper.edu.cn扰动法非线性晶体生长过程数值模拟研究王岩西安理工大学，（710048）E-mail：wangyanxiangtan@hotmail.com摘要：采用扰动法对使用Cz（Czochralski）法非线性晶体生长过程中提拉速度和熔液平均温度场进行了数值模拟研究，实验结果可用于实现晶体等径生长中提拉速度和熔液平均温度的预测控制。研究表明，熔液平均温度（提拉速度）不变时，提拉速度（熔液平均温度）随环境毕奥数的增加和/或熔液毕奥数的减小而增大。进一步研究，熔液若不会组分过冷，可以得

2、到提拉速度的最大值，并在整个生长过程中，必须控制提拉速度小于它的临界上限，否则晶体生长过程将失败。关键词：晶体生长；扰动法；数值模拟1.引言Si、GaAs和InP单晶是生产微电和光电元器件的典型材料，它们通常是用一种称为“直拉法晶体生长过程“的方法制备的，直拉法是一种利用籽晶从熔体中提拉出晶体的生长方法，亦称恰克拉斯基法或提拉法，直拉法示意图如图1所示。直拉法是一种重要的晶体生长技术，用直拉法生长晶体，首先将籽晶浸入相同材料的熔液中并完全“浸湿“，慢慢地向上提拉籽晶，熔液在籽晶表面将发生凝固，即生长出晶体的“颈“和

3、“肩“；一旦晶体直径生长到期望值，通过控制提拉速度和加热器功率，可实现晶体的“等径生长“，工业生产期望生长出的晶体形状近似为圆柱体。在“颈“、“肩“和“等径生长“过程中，晶体长度不断增长，与周围环境进行能量交换的表面积不断增大，与此同时，晶体和盛有熔液的坩埚缓慢旋转，使熔液和晶体轴向均匀对称，文献【2】详细介绍了直拉法晶体生长过程。直拉法晶体生长过程建模的研究已经持续了四十余年并还在继续【1】，由于生长过程中晶体与周围环境、熔液与周围环境和晶体—熔液接触面的自由边界和初始条件问题，使得建立的数学模型十分复杂并难以得

4、到精确解析解。Crowley【3】,Derby等人【4】,Kopetsch【5】和Venerus【6】采用类稳态近似（QSSA）方法，回避了时变边界条件，建立了直拉法晶体生长过程模型，并用坐标变换和有限元方法求解得到提拉速度、熔液温度分布等重要的过程变量。Venerus【6】的研究中，忽略了固液接触面的物理现象，建立了简化的一维时间相关模型（TRANS,asimpleone-dimensionaltime-relevantmodel）,从而得到晶体长度的变化对过程动态特性的影响，由于能量守恒方程的非线性对流项和固液

5、接触面时变边界条件，得不到TRANS精确解析解，Venerus用有限元方法求解晶体生长过程TRANS并预测晶体温度的分布、提拉速度和晶体长度变化趋势，但是Venerus未讨论熔液温度突变对于晶体生长过程的http://www.paper.edu.cn影响。近年来，扰动法解决边界条件问题引起了广泛注意。Duda和Vrentas【7-8】比较了扰动法求解二元汽相平面和无穷液相生长，讨论了扰动法的重要性和实用性；Dedcoso和Domoto【9-11】采用扰动法成功的解决了平面和球面几何形状的凝固问题，但在求解球面内部的

6、凝固问题上遇到困难；Aziz和Lunardini【12】重新讨论了扰动技术在热交换相变中的应用。本文中，扰动技术拓展应用于相对简单的直拉法晶体生长过程TRANS数学模型，应用扰动法确定晶体温度分布、晶体提拉速度和熔液温度变化对于动态生长过程的影响，得到它们的解析式，再根据边界条件和初始值，直接计算出它们的数值解，相对于其他数值模拟方法简单了很多，此外本文分析讨论了Venerus未曾涉及的提拉速度临界值问题。2.系统分析直拉法晶体生长过程剖面结构图如图1所示，为了简化分析，给出以下假设：（1）通过控制晶体提拉速度V和

7、熔液温度Tm可以实现晶体等径生长；*（2）晶体径向温度变化很小，可“理想近似”；（3）晶体轴向均匀对称；（4）晶体物理特性各向同性并与温度无关；（5）晶体与周围环境的热交换满足牛顿冷却定律，晶体温度降至室温，与位置和时间无关；（6）晶体与熔液的热交换满足牛顿冷却定律，溶液温度降至晶体温度，与位置无关；（7）晶体—熔液接触面温度为凝固点温度Tf，固液面为一平面，位于坐标系的初始位置；（8）初始状态下晶体长度长度为S0。http://www.paper.edu.cnvs(t)CRYSTALTaMELTzrTm图1直拉法

8、晶体生长过程示意图为了用扰动法分析前述模型，注意到描述显热转化为潜热重要性的斯特藩数（Stefannumber）在一些固液相变中很小，因此可以将斯特藩数作为一个小微扰参数。定义无量纲量温度θ，无量纲轴向位置坐标ψ，无量纲提拉速度εp，无量纲时间（Fourier数）τ，无量纲晶体长度S，无量纲熔液平均温度δ和斯特藩数ε如下：T−Tazυr0c(Tf−Ta)θ=