等截面悬臂梁的振动分析

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1、湖南大学邵阳分校学报1989年第2卷第皿幽等截面悬臂梁的振动分析阳学李克安岳大在一些工程领域特别是机械工程和建筑工,程领域中有相当一部分振动间题可以近。似地看作是等截面悬臂梁的振动例如机器、上根部固装的叶片的振动机加工时刀具和、二J配石〔二二二二习工件的振动建筑物上某些外伸部分的振代孟生罗家叮,硬吧份呀岁.卜~一--份~下~户一力下”尸、。动等等对等截面悬臂梁的振动间题作深入研究在理论上和实践上都有其现实意义、〔’]〔2J文献均只给出了梁的横向自由振动的一般模型和分析方法,而且忽略了。剪切变形的影响本文将在此基础上分别使ayleighM十少袱JX用偏微分方程法和

2、能量法(R法)QO护、、,‘、",口、。‘卜+来具体分析等截面悬臂梁横向自由振动的基。、、本频率又在能量法中我们还将计入剪力风。黔引起的变形能的影响一偏微分方程法图1xx图1示一梁上距固定端为处取长为d一。。Q02=(E‘的微元段假设梁上任一微元段都沿横向做一=。q=百又了弩芬分周期性振动则任意微元段振动的瞬时横向X·、于是微元段d上的弹性恢复力d位移y(xt)与振型函数(亦即该梁在均尝又可布截荷作用下的挠曲线方程)Y(x)之间表为dqd(El)dx:一一的关系可表成下式嘿纂穿、y(xt)=Y(x)eos¹t(1)m表示,另如用梁单位长度的质量则微、(l)式中。

3、为各微元段的公共振动角频x元段d的惯性力为。率甘“.Y一dX,:m台由图知d甘“作用在微元段上的弹性恢复t_,、,,、当梁上任一微元段都沿横向作周期性振~”。”~‘一QQ+d,)~二一d‘,力为(QQ每单位,。公翁动时其弹性恢复力与惯性力相平衡由、,此可写出该微元段沿y向(横向)运动方长度上的弹性恢复力为一根据材料力学釜程为一。。2,,。Zy、即为该微元段上的分币‘截荷q户即.-一一~石I,ewe军一nlLD)dX=一号护3X‘甘X‘at工82分泞。I一I分华方程为*m一‘O(“,c“s日leh日l二一飞(ICaEl)黔黔或,将式(1)代入式(2)得。。1二;r

4、、邓)”。‘。2e共(101)’⋯xcosxeosot=h日1乃Y吸)ot+mY()0。矛矛适合式(10)的田值有无穷多个它们分别耳p是曲线。。,日:和的诸交点,其值为Y(x)。。s。〕t一。。,(x)。。s。t.。(3)El其丫孺‘二1卜JIdX,二.日l1875日‘1二4.69碑。t冷_二m日(4)‘.。=、、日l二(i一05)(i123⋯⋯即得‘l值代入式(4)即可求得等裁而‘、,,、。,,,,、八将日d工Y(x)一‘Y(二)二0(5)书d盆弓一’日「-、一,~悬臂梁的各阶弯曲振动固有频率为一。,方程(6)的通解为/El‘=‘一一(11)。px二:snx+

5、Zeosx+丫丽Y()Ci日C日,sx+‘ex纂本频率为C五日Ch日(6)一.。n二、、、。1二式中C(1234)为积分常(12),。林叼琴数可由边界条件确定、,·、在固定端挠度和斜率均为零即以上结果与文献〔l)〔2〕的结果。,X二:·=,Y‘X=;·,完全相同可见运用材料力学的有关结论oY‘,o,o‘晶直接而不必分两步建立振动梁的运动微分方、,在自由端弯距和剪力均为零即。程是可行的,__、,d.,_、_。s、,v.dx=1.笋,Y(x)二0笋二Y(x)=0:(b)’一’’’’‘.x‘一一d盆一扭ed一二能量法(Ryrigh法),将边界条件(a)代入式(b)得C

6、:+C一=0,C:+Cs=0,下面用能最法分析图1所示等截面悬臂。,梁的横向自由振动出材料力学知梁在横故式(6)可以简化为Y(x)=C:(sinpx一sh日x)+力弯曲情况下其单位体积的变形能(比能)+C:(eospx一eh日x)(7)为a含t,,‘将边界条件(b)代入式(7)得v之厄豆~+厄乙C:(5in1+sh日l)+C。(co,日1+、日=dAdl,e二若Jl.I取体积为dV的单元体则其变形h日1)0、了J刁1有相u”u:eos+e+。一sn+能为ddVC(日1h日1)C(i日ls=积分即可求得全梁的变形能为h日1)O。二一’‘·’‘::,卜卜M“式(8)

7、为C和C的齐次方程组J:,,击零解其系致行列式应为零即kf‘八,,、,__‘~。nseo一,。二(13)s三l+hpl1+chpl云蔽叹味p邓J二0(9)eosl+ehpl一s如pl+s五pl(S2pAf)一全式甲,胶二乎‘~一.d由式(9)可解得等截面悬臂梁的频率J乎A是一个无名,‘。数它只取决于梁截面的几何性质对于矩y!d’dm{:一等{:(等)一形截面k一人(S勃艺二岁一井乞一a八=带!bz十I:(豁卜=一一一)b‘y二黔黔{次韵鉴号由此得频率表达式为’’,【。了型卫名、dx对其它形状的截面也可以求得相应的系数EIJdx/。,一一十,。对于环形截Zxk例

8、如对于园形截面k二婴yd