数列用递推关系求通项

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1、利用递推关系求数列通项公式教学目标：复习求解数列通项公式的几种常用方法；熟悉几种常见的形式，掌握解题方法并能解决实际的问题教学重点：掌握几种求解数列通项公式的方法，尤其是和类型教学难点：待定系数法等方法求解数列通项教学设计：各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。一.利用与的关系求通项公式1.由得表达式直接求练习1.已知数列{}的前n项和=，求通项.解:当时，==-9.当时，==（）[]=.易知时也适合此式，故=.2.转化为通

2、项间的递推关系求解练习2.已知数列{}的前n项和=（），求通项.解:当时，==（）得=当时，由=（），可得=（）.两式想减得：=即=则=（），所以{}是首项为，公比为的等比数列。故=二.利用递推关系求数列通项公式类型1解法：把原递推公式转化为，利用叠加法求解例1.(2008四川文16)设数列中，，则通项解：∵∴，，，，，，将以上各式相加得：故应填；类型2解法：把原递推公式转化为，利用叠乘法求解。例2.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式叠乘之，即又，类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：

3、把原递推公式转化为：，其中，再转化为等比数列求解。例3.（2006，重庆,文,14）已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型4。解法（待定系数法）：只需把原递推公式转化为：=[],其中，再构造等比数列求解。例4.已知数列中，，，求.解：设=3[],由为一次函数，可知也为一次函数，故设，∴=3[]即.由待定系数法可知，解得。∴即构成了以为首项，3为公比的等比数列。从而=，故.类型5（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。解法

4、：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例5.(2008全国Ⅰ卷文21改编)在数列中，，，求。解：由，两边同除以，得：，易知：，则回顾练习：(2008四川文21)设数列的前项和为，（Ⅰ）求（Ⅱ）证明：是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式解：由得（1）知（2）（2）-（1）得∴即，两边同除以，得：，易知：，又因为，所以则故例6.已知数列中，,，求。解：由两边同除以即两边同乘以得：令，则,解之得：所以思考：(2008四川理21)设数列的前项和为，已知（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；（Ⅱ）求

5、的通项公式解：由题意知，且两式相减得即（1）当时，由（1）知两边同除以，得：，易知：，故当时，由由（1）两边同除以，得：令，则,构造数列令则由待定系数法可知则∴∴构成了以为首项，为公比的等比数列。从而则又可解得：因此小结：类型1解法：把原递推公式转化为，利用叠加法求解类型2解法：把原递推公式转化为，利用叠乘法求解。类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再转化为等比数列求解。类型4。解法（待定系数法）：只需把原递推公式转化为：=[],其中，再构造等比数列求解。类型5（其中p，q均为常

6、数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。作业：1.已知数列满足，，求2.（06年福建高考题）数列求3.数列满足，则4.设数列：，求.5.（2006全国I.22改编）设数列的前项的和，求首项与通项