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1、第16卷第3期计算力学学报Vol.16No.31999年8月CHINESEJOURNALOFCOMPUTATIONALMECHANICSAugust1999一种新的数值方法——无网格a伽辽金法(EFGM)庞作会,葛修润,郑宏,王水林(中国科学院武汉岩土力学研究所,武汉430071)摘要无网格伽辽金法(EFGM)是近几年发展起来的与有限元相似的一种数值算法。它采用移动的最小二乘法构造形函数,从能量泛函的弱变分形式中得到控制方程,并用拉氏乘子满足本征边界条件,从而得到偏微分方程的数值解。该法只需节点信息,不需将节点连成单元;此外,还有精度高
2、、后处理方便等优点。本文介绍其基本原理及实现过程,并用算例表明,该法具有一定的发展前景。关键词无网格;移动的最小二乘法;权函数;拉氏乘子分类号O2411前言[1]有限元、边界元等传统方法是求解边值问题强有力的数值方法。这类方法以单元作为基本概念,一个缺点是,每次计算前都要剖分网格,数据准备工作量大,尤其是对三维问题。当这类方法用于自适应计算或模拟裂纹扩展时,一般要不断更新网格(remeshing)。虽然目前已有[2,3]一些网格生成器,但人们还是觉得准备数据占用机时多,不方便。因此,人们呼唤一种不划网格的数值方法,即无网格法(meshl
3、essmethodorgridlessmethod)。[1,2]无网格法只需节点信息,不需将节点连成单元。这类方法起源于约20年前,按其出现的先后顺序,有代表性的大致有几下几种:SmoothedParticalHydrodynamics(SPH)(1977,[1,2,4,5,6][1,2,7]1988)、DiffuseElementMethod(DEM)(1992)、ElementFreeCalerkinMethod[1,2,3][1,2,8](EFGM)(1994)和PartitionofUnityFiniteElementMetho
4、d(PUFEM)(1995)。[2,9,10]EFGM与其它几种方法相比具有数值稳定、精度高的优点。移动的最小二乘法MovingLeastSquare(MLS)通过几个互不相关的节点上的值,拟合出[7,11]一个函数,该函数的光滑性好且导数连续。BNayrolesetal.(1992)在求解边值问题偏微分方程数值解时,用MLS构造形函数,这样形函数的形成及区域积分的实现都可以脱离单元的概念。BNayroles等称这一方法为DEM。T1Belytschko等(1994)对此做了进一步改进,这[1,2,3,10]些改进包括:(1)对形函数导
5、数考虑得更全面;(2)采用高阶高斯积分完成区域积分;(3)[1,3]引入拉氏乘子满足本征边界条件。这些改进使得DEM求解精度更高、更具发展前途。T.Belytschko等称改进后的EDM为EFGM。EFGM不仅不需要准备网格,而且还有精度高、后处理方便、可消除体积闭锁现象(对不[2,3]可压缩物体)、收敛快等优点。a收稿日期:1997212231.作者简介:庞作会(1969～),男,博士1©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.h
6、ttp://www.cnki.net3期庞作会等:一种新的数值方法——无网格伽辽金法(EFGM)3212EFGM基本原理211MLS法21111MLS基本概念3h在域8中,数据u可拟出函数u(x):mhTu(x)=∑pj(x)aj(x)=p(x)a(x)(1a)j=1T式中p(x)是完备多项式基,对二维域来说T线性基p(x)=[1xy],m=3(1b)T22平方基p(x)=[1xyxxyy],m=6(1c)a(x)是系数,它是x的函数a1(x)a2(x)a(x)=(1d)⋯am(x)式(1a)是全局近似,其对应的局部近似为mhqqTqu
7、(x,x)=∑pj(x)aj(x)=p(x)a(x)(2)j=1为确定a(x),在局部范围内构造带权重的L2范数J(x),并使J(x)取得最小值:nh32J(x)=∑w(x-xI)[u(x,xI)-u(xI)]InT32=∑w(x-xI)[p(xI)a(x)-u(xI)](3)I式中xI是x周围的节点,共有n个,称为x的影响域(Supportorinfluencedomain)内的点。这n个节点不必连成单元,构成EFGM的特点;w(x-xI)是权函数,对影响域外的xI,w(x-33xI)=0,对影响域内的xI,w(x-xI)≠0;u(x
8、I)是u在xI处的值。式(3)可写成3T3J(x)=(Pa-u)W(x)(Pa-u)(4a)p1(x1)p2(x1)⋯pm(x1)p1(x2)p2(x2)⋯pm(x2)式中P=(4b)⋯⋯w⋯p1(xn)p
