思辨数学的教育价值

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1、思辨数学的教育价值　　摘要：思辨数学的概念是弗赖登塔尔提出的．概率统计课程中思辨数学内容至少包含思辨求解和思辨推断两个模块．关于思辨数学与算法数学的区分，能为概率统计教学提供重心，在教学法上具有重要意义．珍视概率统计课程中思辨数学的教育价值，驱动以概念为本的概率统计课程教学，对训练创新思维素养和培育直觉能力有着独特的作用．　　关键词：思辨数学；算法；概率统计；直觉思维　　1思辨数学词源诠释思辨数学一词是荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔（Freudenthal，1905—1990）首先提出的．他在名着《作为教育任务的数学》中举例诠释了思辨数学与算法数学的区别：设有相同

2、数量的白酒与红酒各一杯，取一匙白酒倒入红酒内，使之混合，再取同量的一匙混合酒倒入白酒内．试问，白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反？答案是：两种含量一样多．然而解题方法有两种，一种是根据其取法操作，列出算式计算……另一种是这样思考的：设想每个杯子中的白酒和红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒正是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺现在正好被白酒所填补．前一种解法是算法求解，后一种解法是思辨求解[1]．“算法”（Algorithm）就是指计算诀窍．有种界定：“算法是为了实现一个计算或者解决一个问题的精确指令的有限集合．”[2]算法还被广泛理解为解决问题的所有

3、确定步骤．思辨数学也称为概念数学[3]．类似地，解一个概率问题：设有一线段AB，在AB上随机地投一点X，记ξ=AX，问Eξ等于多少?（所谓“随机地”的意思是点X落在线段CD上的概率等于CD/AB．这个概率只与CD的长度有关，而与CD位于AB中的哪一段无关．这就是几何概型中的等可能性或对称性）．如图1：　　对称性知，随机变量ξ与η有相同的分布（不管其分布是什么），因而Eξ=Eη，但ξ+η=AB，由数学期望的性质有Eξ+Eη=AB，所以2Eξ=AB，即2Eab+ξ=．显然，这是两种思维风格迥然不同的解法，解法一是逻辑性的算法求解，属于算法数学；解法二主要是直觉性的思辨求

4、解，属于思辨数学．这里举例仅仅是为了诠释概率论中思辨数学与算法数学的区别．我们认为，思辨数学就是动态地辩证地把握概念和体味推据（这里把思辨推理的理论依据简称推据），凭借对概念的直觉和数学美的启迪（而非逻辑性的推理），产生直观的解题思路方法或做出合情推理决策．换言之，在直觉领引下，围绕推据，换位思考，思维在运动中觅到解题方法的一套数学知识体系．德国数学家、数学教育家克莱因（KleinF，1849—1925）指出：“数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面，它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样，技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵

5、剥落后的产物．”[4]克莱因这一论断，对概率统计教学具有重要的指导意义，把握思辨数学与算法数学的区分，它能为教学提供重心，对于贯彻概率统计思想方法为主线的教学大有裨益．2概率统计课程中的思辨数学内涵透析从思维的逻辑层面透析，概率统计知识内容可以分为两类，大部分是程序性的，有一些则是思辨性的．算法是程序性的，概率统计的演算中充斥着算法；然而，在概率演算题中也会遇到思辨求解问题，虽然这类题数量不多，但解题思维中颇富有理性精神，有着方法论的教育意义．特别值得一提的是，就产生数理统计一些重要方法的思想而言，思辨因素起着关键性的作用，从本质上讲，作为数理统计核心内容的统计推断

6、也隶属于思辨数学的范畴，即思辨数学至少包含思辨求解和思辨推断两大模块．现分述如下：　　2.1思辨求解问题若对某些概率问题的题设条件进行分析，抓住题目中的关键概念，由对这些概念的直觉和思辨，就能引发解题的思路和方法．具体说来，吃透问题的条件和结论，抓住起决定性作用的思辨因素，运用发散思维或逆向思维，进行类比联想或换位思考推理，进而恰当地引入辅助事件或辅助随机变量，就会建构和洞察到所研究的数学对象中蕴涵着的事件之间或随机变量之间的某种对称性、对等性或等可能性的关系．那么，这些事件、事件关系所遵从的一般的概率法则、统计规律或一些概率原理等就构成解题思维的支点，即推据；思维

7、一旦受到这些推据以及数学中对称美的直觉启发，就会迅速地做出判断，寻到简便的解法，或直接给出答案．例1一副纸牌共N张，其中三张A，随机地洗牌后，从顶上开始一张接一张地翻牌，直到翻到第二张A出现为止，求翻牌数ξ的平均值．解：假定从底里开始一张接一张地翻牌，也翻到第二张A出现为止，翻过的牌数为η，由对称性（即从顶上开始翻牌与从底里开始翻牌情况是一样的）知，ξ与η有相同的分布，因而平均值也就相同，即Eξ=Eη；又考虑到ξ+η=N+1，所以有Eξ+Eη=N+1，即Eξ=(N+1)/2．例2证明组合公式[5]：　　knnkinkiinCCC21201+?　　=Σ=，k=0,