数学百大经典例题-不等式证明

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1、www.tesoon.com天星教育网版权所有典型例题一例1若,证明(且).分析1用作差法来证明.需分为和两种情况,去掉绝对值符号,然后比较法证明.解法1(1)当时,因为,所以.(2)当时,因为所以.综合(1)(2)知.分析2直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号.解法2作差比较法.因为,所以.www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教育网版权所有说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快.典型例题二例2设,

2、求证:分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式.证明:∵,∴∴.∴又∵,∴.说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3对于任意实数、,求证(当且仅当时取等号)分析这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有,展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式:出发,再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。证明:∵(当且仅当时取等号)两边同加,即:(1)又:∵(当

3、且仅当时取等号)两边同加www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教育网版权所有∴∴(2)由(1)和(2)可得(当且仅当时取等号).说明:此题参考用综合法证明不等式.综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明,要注意均值不等式的变形应用,一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解.典型例题四例4已知、、,,求证分析显然这个题用比较法是不易证出的。若把通分,则会把不等式变得较复杂而不易得到证明.由于右边是一个常数,故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式,比如,再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径,

4、这也常称为“凑倒数”的技巧.证明:∵∴∵,同理:,。∴说明:此题考查了变形应用综合法证明不等式.题目中用到了“凑倒数”,这种技巧在很多不等式证明中都可应用,但有时要首先对代数式进行适当变形,以期达到可以“凑倒数”的目的.典型例题五例5已知,求证:>0.分析:此题直接入手不容易,考虑用分析法来证明,由于分析法的过程可以用综合法来书写,所以此题用两种方法来书写证明过程.www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教育网版权所有证明一:(分析法书写过程)为了证明>0只需要证明>∵∴∴>0∴>成立∴>0成立证明二:(综合法书写过程

5、)∵∴∴>>0∴>成立∴>0成立说明:学会分析法入手,综合法书写证明过程,但有时这两种方法经常混在一起应用,混合应用时,应用语言叙述清楚.典型例题六例6若,且,求证:分析这个不等式从形式上不易看出其规律性,与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系,所以可以采用分析的方法来寻找证明途径.但用“分析”法证不等式,要有严格的格式,即每一步推出的都是上一步的充分条件,直到推出的条件是明显成立的(已知条件或某些定理等).证明:为要证只需证,即证,也就是,www.tesoon.com天星教育网www.tesoon.com天星教育网版权所有即证,即证,∵

6、,∴,故即有,又由可得成立,∴所求不等式成立.说明:此题考查了用分析法证明不等式.在题目中分析法和综合法是综合运用的,要注意在书写时,分析法的书写过程应该是:“欲证……需证……”,综合法的书写过程是:“因为(∵)……所以(∴)……”,即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混.典型例题七例7若,求证.分析:本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法.证法一:假设,则,而,故.∴.从而,∴.∴.∴.这与假设矛盾,故.证法二:假设,则,故,即,即,这不可能.从而.证法三:假设,则.由,得,故.又,www.tesoon.com天星教育网www.

7、tesoon.com天星教育网版权所有∴.∴,即.这不可能,故.说明:本题三种方法均采用反证法,有的推至与已知矛盾,有的推至与已知事实矛盾.一般说来,结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句,或结论以否定语句出现,或结论肯定“过头”时,都可以考虑用反证法.典型例题八例8设、为正数,求证.分析:用综合法证明比较困难,可试用分析法.证明:要证,只需证,即证,化简得,.∵,∴.∴.∴原不等式成立.说明:1.本题证明易出现以下错误证法:,,然后分(1);(2);(3)且;(4)且来讨论,结果无效.2.用分析法证明数学问题,要求相邻两步的关系是,前一步是后一

8、步的必要条件,后一步是前一步的充分条件,当然相互为充要条件也可以.典型例题九例9已知,求证.分析:联想三角函数知识,进行三

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