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1、甘肃省白银市第十一中学 甘肃白银谢海平 730900电子邮箱：2237715467@qq.com电话：13830028810例谈存在型问题的解法随着新课程改革的不断深入，近年来的竞赛、中考数学试题出现了大量的、内容丰富的、形式多样的能力型试题。其中存在型问题就像一颗颗璀璨的“明珠”,常考常新,备受命题者的青睐。"是否存在型"探索性问题是指具有某种性质的数学对象是否存在，或数学对象是否具有某种性质."是否存在型"探索性问题,由于存在与否是未知的,往往难以入手,解这类问题的一般的求解方法是：假设结论存在，然后根据题意列出满足条件的等式（方程或方程组）或不等式（组），如果求出的结论符合已
2、知条件则结论存在；如果求出结论不符合已知条件或与定理、公理等相矛盾，则结论不存在。例1．已知数列中，，且对于任意自然数，总有，是否存在实数，使得对于任意自然数恒成立？证明你的结论．解：是一个一般性的结论，为了探求是否存在，我们可从特殊的n出发，求出的值，再检验是否满足一般的条件．由，，代入，可解得．代入检验，可知当时，一方面由得，另一方面，由得，矛盾．所以，这样的实数不存在．例2.如图所示，已知A(1,0)、B（，）为直角坐标系内两点，点C在x轴负半轴上，且OC=2OA，以A点为圆心、OA为半径作⊙A。直线CD切⊙A于D点，连结OD。 （1）求点D的坐标； （2）求经过O、B、
3、D三点的抛物线的解析式； （3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使ΔDCP∽ΔOCD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。 分析：本例是是否存在性探索型题目。欲判断上是否存在一点P，使ΔDCP∽ΔOCD，可从代数、几何两个方面入手去考虑。从代数入手，可先求抛物线与x轴的交点坐标，然后证明该点在⊙A上，进而证明该点满足条件ΔDCP∽ΔOCD。从几何入手，可先假设存在这样的点P(m,n),使得ΔDCP∽ΔOCD,通过计算进而求出P点的坐标。 解：（1）连结AD，则AD⊥CD于D,作DE⊥OA于E。 ∵点A坐标为（1，0），且OC=2OA，∴AC=3， ∵s
4、in∠ACD==,∴sin∠ADE==, ∴AE=,因而OE=1－=， ∴DE==， ∴D点坐标为（，）。 （2）设抛物线y=ax2+bx+c经过O(0,0)、B（，）、D（，）,则C=0，且=+=+解得：a=b= ∴所求的抛物线的解析式为y=-x2+x （3）设⊙A与x轴的另一个交点为F(2,0)，连结DF， ∵CD切⊙A于D，∴∠CDO=∠CFD， 又∠DCO=∠FCD，∴ΔOCD∽ΔDCF， 将x=2代入y=-x2+x中，得y=0， ∴F（2，0）在抛物线上，∴点F即为所求的P点， ∴抛物线y=-x2+x上存在一点P，使ΔPCD∽ΔDCO。例3.设P是任
5、一奇质数，试证：一定存在着整数x、y使得二次三项式5x2+11y2-1是P的倍数。分析：此题中P是任意奇质数，导致确定x,y这两个变数非常困难，但是假设x=y时，这样的问题就变二元为一元，从而问题简单化了。证明：假设x＝y，则5x2+11y2－1＝16x2－1＝4x＋1）（4x－1）已知Ｐ为奇质数，不妨设P＝2n＋1（ｎ为正整数），显然，若取x＝n2，则4x－1＝4n2－１=（2n＋1）（2n－1）＝P（2n－1）．此时16x2－1＝P（2n－1）（4n2＋1）因此二次三项式5x2+11y2-1是P的倍数。存在型问题由于选择范围广,覆盖知识面大,具有较强的综合性,对所使用的解题方法
6、也有较高的要求,并且须有一定的预见性和灵活性,因此,是训练和考查学生的思维能力、分析能力和解决问题能力的好题型,在十分重视素质教育的今天,更应予以重视.
