高等数学定积分及其应用学习辅导

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1、高等数学：定积分及其应用学习辅导定积分及其应用[学习目标]⒈了解定积分的概念；知道定积分的定义、几何意义和物理意义；了解定积分的主要性质，主要是线性性质和积分对区间的可加性，　　(为常数)还应熟悉以下性质⒉了解原函数存在定理；会求变上限定积分的导数。若，则　　⒊熟练掌握牛顿——莱布尼茨公式，换元积分法和分部积分法。4.掌握在直角坐标系下计算平面曲线围成图形的面积；会计算平面曲线围成的图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积。由曲线和及直线围成的面积，有　　对于对称区间上的定积分，要知道　　当为奇函数时有　　

2、当为偶函数时有　　（一）单项选择题（1）．下列式子中，正确的是（）。A.B.C.D.(2).下列式子中，正确的是（）14A.B.C.D.(4)若是上的连续偶函数，则。A.B．0C．D．(5)若与是上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线所围图形的面积().A.B.C.D.答案：（1）A；（2）D；（3）D；（4）C；（5）A。解：（1）根据定积分定义及性质可知A正确。而B不正确。在（0，1）区间内C不正确。根据定积分定义可知，定积分值与函数及定积分的上、下限有关，而与积分变量的选取无关。故D不正确。(

3、2)由变上限的定积分的概念知∴A、C不正确。由定积分定义知B不正确。D正确。（4）C。正确。（5）所围图形的面积始终是在上面的函数减去在下面的函数∴A正确。（二）填空题(1)(2)(3)在区间上，曲线和轴所围图形的面积为______________。14(4)答案：解：（1）（2）（2）所围图形的面积S=（3）y=所围图形的面积∴（三）　计算下列定积分(1）(2）（3）（4）（5）答案：(1）(2）（3）（4）14(5)（四）定积分应用例1计算抛物线与直线所围成的图形面积。解：1、先画所围的图形简图

4、解方程,得交点：和。2.选择积分变量并定区间选取为积分变量，则3.给出面积元素在上，在上，4.列定积分表达式另解：若选取为积分变量，则显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。14求椭圆所围成的面积。解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。取为积分变量，则，故(*)作变量替换则，(**)计算心脏线所围成的图形面积。解：由于心脏线关于极轴对称，第一节定积分的概念思考题：141.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1）,（2）,（3

5、）,（4）.解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积.若时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，.2A(2)-1-1111A1A(1)1-13A4A5A2ππ(3)11(4)（2）由上图（2）所示，.（3）由上图（3）所示，.（4）由上图（4）所示，.2.若当，有，下面两个式子是否均成立，为什么？（1）,（2）.答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，与不能比较大小，故（2）式不成立.3.个数的算术平均值与连续函数在闭

6、区间上的平均值有何区别与联系？答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但14个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是,后者计算公式是.习作题：1.用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.解：任取分点,把分成个小区间，小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式：,记,则.2.利用定积分的估值公式，估计定积分的值.解：先求在上的最值，由,得或.比较的大小，知，由定积分的估值公式，得,即.3.求函数在闭区间[-1，

7、1]上的平均值.解：平均值.4.利用定积分的定义证明.证明：令,则，任取分点…,把分成个小区间，并记小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积的和式,记,则.第二节微积分基本公式14思考题：1.?答：因为是以为自变量的函数，故=0.2.答：因为是常数，故.3.？答：因为的结果中不含，故0.4.？答：由变上限定积分求导公式，知.5.？答：.6.若，则=？答：=.7.当为积分区间上的分段函数时，问如何计算定积分？试举例说明.答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将分解为部分区间上的定

8、积分来计算.例如：若则=+==.8.对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换.习作题：1.计算下列定积分（1）,（2）,（3）.14解：（1）=+===1.（2）=+==4+.（3）=+==2+2=4.2.求极限.解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得==3.计算下列各题：（1），（2），（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,（9）,（10）,（11）,（12）,（13）.