《2.3 数学归纳法（1）》课件

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1、2.3数学归纳法(1)高中数学问题情境结论是错误的．12＋1＋41＝4322＋2＋41＝4732＋3＋41＝5342＋4＋41＝6152＋5＋41＝71都是质数，于是可以用归纳推理提出猜想任何形如n2＋n＋41(n∈N*)的数都是质数因为n＝41时，n2＋n＋41＝412＋41＋41＝41×43是一个合数思考从一个袋子里第一次摸出的是一个白球，接着，如果我们有这样一个保证：“当你这一次摸出的是白球，则下一次摸出的一定也是白球.”能判断这个袋子里装的全是白球吗？能判断．什么是数学归纳法？对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：1．先证明当n

2、取第一个值n0时命题成立；2．然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法就叫做．数学归纳法验证n＝n0时命题成立若n＝k(k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立.归纳奠基归纳推理命题对从n0开始所有的正整数n都成立(1)第一步，是否可省略？不可以省略．(2)第二步，从n＝k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证n＝k＋1时命题也成立．既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性．反例想一想例：已知数列{an}为等差数列，公差为d，求证：通项公式为an＝a1＋(n－1

3、)d．(2)当n＝k时，结论成立，ak＝a1＋(k－1)d，那么∵ak＋1＝ak＋d∴ak＋1＝a1＋(k－1)d＋d＝a1＋kd＝a1＋[(k＋1)－1]d所以n＝k＋1时，结论也成立．综合(1)、(2)知an＝a1＋(n－1)d．证明：(1)当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d＝a1，结论成立．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，就是1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2那么例2用数学归纳法证明：当n∈N*1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何

4、n∈N*都成立．1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]例2用数学归纳法证明n∈N*12＋22＋32＋…＋n2＝(1)第一步应做什么？此时n0＝，左＝，(2)假设n＝k时命题成立，即当n＝k时，等式左边共有项，第k项是．kk2思考？11212＋22＋32＋…＋k2＝(3)当n＝k＋1时，命题的形式是(4)此时，左边增加的项是(5)从左到右如何变形？(k＋1)2．12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝例3用数学归纳法证明．证明(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝　　　　　　，等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，就是那么这就是说，当n＝k＋1

5、时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．如下证明对吗？证明　①当n＝1时，左边＝1右边＝1等式成立．②设n＝k时，有即n＝k＋1时，命题成立．根据①②问可知，对n∈N*，等式成立．第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明．三、巩固练习：1．用数学归纳法证明：“”在验证n＝1成立时，左边计算所得的结果是．2．已知：，则等于3．用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)＝4．用数学归纳法证明：小结：重点：两个步骤、一个结论；注意：奠基基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．