几类非线性微分方程的可积性与求解

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1、大连理工大学硕士学位论文几类非线性微分方程的可积性与求解IntegrabilityandSolutionsofSomeNonlinearDifferentialEquations作者姓名：学科专业：学号：指导教师：完成日期：吴丽娟应用数学21001052梅建琴2013年05月D￡dianUniversk3iofTechnol0937大连舡婵靴论文犹巾陛锄煳作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论文不包含其他个人或集体己经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同

2、志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。学位论文题目：蝼盟竖丛谜笪9墼煎刍釜盛作者签名：姜殓幽日期：鱼!曼年上月—L日大连理工大学硕士学位论文摘要随着非线性科学的飞跃发展，非线性微分方程也日趋丰富．在描述物理现象方面，非线性微分方程是一类重要的数学模型，也是最热门的研究课题之一．对非线性微分方程的可积性与精确解的研究，在理论上有助于了解物理现象中各种物质在非线性作用下的运动规律，进而有助于推进其实际应用．非线性微分方程精确解的研究是讨论非线性微分方程问题的首要任务．在非线性微分方程的研究中．Painlev@可积性质的检验、构造

3、方程的多孤子解、寻找行波解等经常遇到复杂的代数推理和符号计算，有的在实施过程中难度系数极大，因此影响了此类问题的进展．近年来得益于符号计算的发展，非线性微分方程的研究得到了极大地推动，其研究成果特别是新的求解方法层见叠出．本论文借助于符号计算系统Maple，主要研究了三类非线性微分方程，分别是扩展的欧拉陀螺、B一型KdV方程组以及变系数非线’陛SchrSdinger方程．对这三类方程我们主要对其可积性进行了讨论并求出相应的精确解，主要工作如下：第一章绪论部分介绍了非线性微分方程、孤立子理论以及可积性理论的历史背景和发展方向，并对非线性微分方程的几种求解方法以及可积性的几种分类进行简单的

4、综述．另外，对本硕士论文中的主要工作和结构安排做了简要介绍．第二章首先介绍了经典欧拉陀螺，以此为出发点，利用Lax对的扩展构造了扩展的欧拉陀螺．然后通过Painlev@检验判断了扩展欧拉陀螺的Painlev@可积性，并利用Liouville定理以及守恒量计算出扩展欧拉陀螺的精确解．第三章主要研究的是B一型KdV方程组，首先验证了该方程组的Painlev@可积性，然后利用Painlev@截断法推导出方程组的Bgcklund变换，并利用Hirota双线性法得到了方程组的双线性形式和双线。HiBgcklund变换，进一步构造出B一型KdV方程的孤子解．第四章以一类变系数非线‘l壁iSchrS

5、dinger方程为研究对象，首先利用符号计算判断了方程的Painlev6可积性．然后以LaX对为基础构造出非线。l!tiSchrSdinger方程的Darboux变换，利用Darboux变换从零解出发得到了方程的新解．最后，给出了本论文的简短总结．关键词：Painlev6可积性；B／icklund变换；双线性形式；孤子解；Darboux'变换几类非线性微分方程的可积性与求解AbstractWiththerapiddevelopmentofnonlinearscience：thenumberofnonlineardifferentialequa-tionsisalsoincreasing

6、．Inthedescriptionofphysicalphenomena：nonlineardifferentialequationisanimportantmathematicalmodel，andoneofthemostpopularresearchtopics．Theresearchontheintegrabilityandexactsolutionofnonlineardifferentialequation．intheory,helpstounderstandthemovementrulesofvarioussubstancesunderthenonlinearinterac

7、tioninthephysicalphenomena，andthushelpstoadvanceitspracticalapplication．Theresearchontheexactsolutionistheprimarytasktodiscusstheproblemofnonlineardifferentialequation．Manyresearchtopics．suchasthePainlev6test．constructingmul