立体几何探究性试题的求解策张国华

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1、立体几何高考探究性试题的求解策略张国华探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立；在近几年的高考试卷中较多地出现了立体几何方面的条件开放的探究性试题，内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面；下面就各类问题来探讨一下求解的策略。一、探究两条异面直线所成的角DABCEFP例1如图1,已知正方行ABCD和矩行ACEF所在平面互相垂直，，试在线段上确定一点，使得与所成的角是，并加以证明。分析：设，利用与所成的角是来构建以为元的方程，再解就确定了点的位置。解法1：如图2，ABCD是边长为的正方形，

2、设ABCDEFPQ作交与，则//，相交直线所成的角是异面直线与所成的角。平面ABCD平面ACEF,ACEF矩行，，，要使所成角是，只需使，只需使，，只需使，又在中，，，，所以当点是线段的中点时所成的角为。解法2：如图3正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，YXzABCDEFP，又设以为坐标原点，直线分别为轴，的正方向，建立空间直角坐标系，则，要使所成角是只需使，所以，所以当点是线段的中点时所成的角为。二、探究直线与平面所成的角ABCDE例2：如图4，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且另一个侧面是正三角形

3、，在线段上是否存在一点，使成角，若存在，确定的位置，若不存在，请说明理由。分析：如图5把在三棱锥补成以为棱的正方体HCDB---AMNG,使我们对题意及图形有透彻理解找到与面所成的角。在上任取一点使，利用所成的角为来构建方程，再求ACBDEMNGH的值，若就确定了点的位置，若则说明满足条件的点不存在。解法1：如图6，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，是正三角形，则DABCOEFH取的中点连结则，，，，作交的延长线于，则平面平面则，在Rt中，，在中，，在中，，，在中，设，作，平面平面，就是所成的角。由(※)，在中，，

4、要使成角，只需使，当时成角AHFEBODCxyz解法2在解法1中接（※）以为坐标原点，以直线分别为轴，轴的正方向，以过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示则，又平面的一个法向量为，要使成角，只需使成，只需使，即，当时成角三、探究二面角ABCED例3：如图在长方体中，点在棱上移动，当等于何值时，二面角的大小为。分析：设，利用二面角的平面角的大小为来构建以为元的方程，求解，就确定的值了。解法1：由于是长方体，则，作连结则在平面上的射影，由三垂线定理得，故是二面角的平面角。设，在，在，由，，要使，只需使，，解得（舍去）所

5、以当时，二面角的大小为。xyZABCDE解法2：是长方体，，以为坐标原点，分别以直线为轴，y轴,z轴正方向，建立空间直角坐标系；如图所示。设则设平面的一个法向量为，由令，又平面的一个法向量为，要使二面角的大小为，只需使，，所以当时，二面角大小为。四、探究线面垂直例4：如图已知平行六面体的底面是菱形，且，当的值为多少时能使？请给出证明。ABCDO分析：执果索因，从结论出发，进行逆向思维，逐层探究使它成立的充分条件，联想平行六面体是由长方体压扁得到，从而猜想，再从入手就容易证明了。解法1：如图设，连结；是菱形，，又，，当时，平行六面体

6、的六个面是全等的菱形，将作为下底面时同理可得，，所以当时，使。分析2：执果索因，从结论出发，利用空间向量的几何运算法则，则“柳暗花明又一村”了。解法2：因为平行六面体的底面是菱形，且，设，则，，要使，只需使，只需使，，，所以当时，。例5：如图在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，为的中点，在侧面内，找一点使。ABCDPEFGHMN分析1：把四棱锥补成长方体设是它的一个中截面，不难看到当延长交于则为所求。解法1：如图设分别是棱的中点，连结，是棱的中点，是矩形，，，，而，，四边形是矩形，平面，在面内作延长交于，，在矩形中，，在中，，所以当点在

7、的中位线上，且时，。ABCDPxyzE分析2：以点为坐标原点，分别以直线为轴，y轴,z轴;正方向建立空间直角坐标系，设，其中，由，转化为，且，再求出的值，从而确定平面内点de位置。解法2：如图在四棱锥中底面为矩形，，以为坐标原点分别以直线为轴，y轴,z轴;正方向建立空间直角坐标系，设，其中则，，,要使，只需，所以在侧面内，当点时，。总结：用向量方法探讨线面垂直，就是利用这条直线与平面内的两条相交直线垂直，即然后求出点的坐标。五、探究线面平行例六（2004年湖南）如图在底面是菱形的四棱锥中，ABCDOEFMP点在上，且在棱上是否存在

8、一点，使？证明你的结论。分析1：因为不易找到平面内直线与平行，所以先找所在的一个平面与平面平行，注意到，容易想到取的中点，的中点，先证平面从而就证明了。证法1：取棱的中点，线段的中点，连9设连结，因为是的中点，，，，又分析2：要证平面，先证存在是实