高中数学必修2教案圆的一般方程

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1、-圆的一般方程三维目标:知识与技能:(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.(2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程。(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。过程与方法:通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索。教学重点:圆的一般方

2、程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用王新敞教具:多媒体、实物投影仪王新敞教学过程:课题引入:问题:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。探索研究:请同学们写出圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径r.把圆的标准方程展开,并整理:x2

3、+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.----取D2a,E2b,Fa2b2r2得--x2y2DxEyF0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示的曲线一定是圆吗?把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得D2(yE2D2E24F)这个方程是不(x))4②(配方过程由学生去完成22是表示圆?(1)当D2+E2-4F>0时,方程②表示(1)当D2E24F0时,表示以(-D,2-E)为圆心,1D2E24F为半径的圆;22(2)当D2E24F0时,方程只有实数解xD,yE,即只表示一个22点(-D,-E);

4、22(3)当D2E24F0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形王新敞综上所述,方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆王新敞只有当D2E24F0时,它表示的曲线才是圆,我们把形如x2y2DxEyF0224的表示圆的方程称为圆的一般方程王新敞x1y我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳)22(1)①x和y的系数相同,不等于0.②没有xy这样的二次项.--(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心

5、坐标与半径大小,几何特征较明显。--知识应用与解题研究:--例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。14x24y24x12y9024x24y24x12y110学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是,要注意对于14x24y24x12y90来说,这里的D1,E3,F9而不是D=-4,E=12,F=9.4例2:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方

6、程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程王新敞解:设所求的圆的方程为:x2y2DxEyF0∵A(0,0),B(11,),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于D,E,F的三元一次方程组,F0即DEF204D2EF200解此方程组,可得:D8,E6,F0王新敞∴所求圆的方程为:x2y28x6y0王新敞r1D2E24F5;D4,F3王新敞222得圆心坐标为(4,-3).或将xy28x6y0左边配方化为圆的标准方程,(x4)2(y3)225,从--2而求出圆的半径r5,圆心坐标

7、为(4,-3)王新敞学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤:①、根据提议,选择标准方程或一般方程;②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;③、解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上x12y24运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。--分析:如图点A运动引起点M运动,而点A在已知圆上运动,点A的坐标满足方程2y24。建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条x1件,求出点M的轨迹方程。解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是x0,y0.由于点

8、B的坐标是4,3且M是线段AB的重点,所以--xx04,yy03,22①于是有x02x4,y02y3因为点A在圆x2y24上运动,所以点

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